( 2,5 pontos) Uma jarra de 2 L de suco de limão ficou no sol muito tempo e sua temperatura é de 35^{\circ} \mathrm{C}. Você coloca 300 mL em um copo de isopor e adiciona 3 pedrinhas de gelo (cada uma com massa 25 g e a temperatura 0^{\circ} \mathrm{C}.
(a) Supondo que não ocorre troca de calor com o ar ambiente, qual é a temperatura final do suco?
(b) Qual é a temperatura final do suco se você adicionar 6 pedrinhas de gelo em vez de 3?
(c) Em ambos os casos, quais são as massa de líquido e de gelo no copo quando atingido o equilíbrio térmico?
  • Suponha que o suco se comporta termodinamicamente como a água.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) a temperatura final do suco quando se coloca no copo 300\\ \mathrm{mL} de suco a 35^{\circ}\mathrm{C} com 3 pedrinhas de gelo (cada uma com massa 25\\ \mathrm{g} e 0^{\circ}\mathrm{C}); (b) a temperatura final se, em vez de 3, colocar 6 pedrinhas de gelo; (c) em cada caso, as massas de líquido e de gelo no copo no equilíbrio térmico. Informações/dados que vou usar (todos extraídos do enunciado ou hipóteses dadas):
  • Volume de suco no copo: 300\\ \mathrm{mL}. Como o suco se comporta como água, tomo a densidade 1\\ \mathrm{g/mL}, então massa do suco: m_{\text{suco}} = 300\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial do suco: T_{\text{suco,\,i}} = 35^{\circ}\mathrm{C}.
  • Massa de cada pedrinha de gelo: 25\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial do gelo: T_{\text{gelo,\,i}} = 0^{\circ}\mathrm{C}.
  • Caso (a): 3 pedrinhas \Rightarrow m_{\text{gelo}}=3\cdot25= 75\\ \mathrm{g}.
  • Caso (b): 6 pedrinhas \Rightarrow m_{\text{gelo}}=6\cdot25= 150\\ \mathrm{g}.
    Constantes termodinâmicas que vou usar (valores típicos da água):
  • Capacidade térmica específica da água: c = 4{,}18\\ \mathrm{J\,g^{-1}\,^{\circ}C^{-1}}.
  • Calor latente de fusão do gelo: L_f = 334\\ \mathrm{J\,g^{-1}}.
    Condições: não há troca de calor com o ambiente (sistema isolado). Objetivo: aplicar conservação de energia (calor perdido pelo suco = calor ganho pelo gelo, incluindo fusão se ocorrer).

Passo 2

Conceitos e estratégia (explicação didática, nada pulado).
  • Quando dois corpos trocam calor sem perda para fora, vale conservação de energia térmica: o total de calor cedido por um é igual ao total de calor absorvido pelo outro.
  • Para água (ou suco tratado como água) o calor trocado ao variar a temperatura é dado por
Q = m\,c\,\Delta T,
onde m é a massa (em \mathrm{g}), c é capacidade térmica específica (em \mathrm{J\,g^{-1}\,^{\circ}C^{-1}}) e \Delta T é a variação de temperatura em {}^{\circ}\mathrm{C}.
  • Para passar gelo de 0^{\circ}\mathrm{C} a água líquida a 0^{\circ}\mathrm{C} é necessário fornecer o calor de fusão
Q_{\text{fusão}} = m\,L_f,ã
onde L_f é o calor latente (em \mathrm{J\,g^{-1}}).
  • Portanto, para decidir se todo o gelo derrete ou não, primeiro calculamos o calor disponível se o suco fosse resfriado até 0^{\circ}\mathrm{C}:
Q_{\text{disponível}} = m_{\text{suco}}\,c\,(T_{\text{suco,\,i}}-0^{\circ}\mathrm{C}).í
Se Q_{\text{disponível}}í for maior que m_{\text{gelo}}\,L_f, então há calor suficiente para derreter todo o gelo; o equilíbrio terá temperatura final T_f>0^{\circ}\mathrm{C} e é determinado pela equação de balanço de energia incluindo o aquecimento da água que veio do gelo. Se Q_{\text{disponível}}<m_{\text{gelo}}\,L_fí, então nem todo gelo derrete e a temperatura final será 0^{\circ}\mathrm{C}; a massa de gelo que derrete é m_{\text{derretida}}=Q_{\text{disponível}}/L_fí.
Vamos aplicar isso numericamente aos dois casos.

Passo 3

Calcular Q_{\text{disponível}}í (quantidade de calor que o suco pode ceder ao ser resfriado até 0^{\circ}\mathrm{C}):
Q_{\text{disponível}} = m_{\text{suco}}\,c\,(T_{\text{suco,\,i}}-0^{\circ}\mathrm{C})í
Substituindo m_{\text{suco}}=300\\ \mathrm{g}, c=4{,}18\\ \mathrm{J\,g^{-1}\,^{\circ}C^{-1}}, T_{\text{suco,\,i}}=35^{\circ}\mathrm{C}:
Q_{\text{disponível}} = 300\cdot 4{,}18\cdot 35 = 1254\cdot 35 = 43\,890\\ \mathrm{J}.í

Passo 4

Caso (a): 3 pedrinhas ( m_{\text{gelo}}=75\\ \mathrm{g}). Primeiro comparo calor necessário para fundir todo o gelo com o calor disponível:
Q_{\text{fusão,\,total}} = m_{\text{gelo}}\,L_f = 75\cdot 334 = 25\,050\\ \mathrm{J}.ã
Como Q_{\text{disponível}}=43\,890\\ \mathrm{J} > Q_{\text{fusão,\,total}}=25\,050\\ \mathrm{J}íã, todo o gelo derrete. Então há calor sobrando que vai aquecer a água resultante (a água que era gelo) até a temperatura final T_f>0^{\circ}\mathrm{C}.
Agora escrevo o balanço de energia completo (calor perdido pelo suco = calor gasto para fundir o gelo + calor ganho para aquecer a água do gelo de 0^{\circ}\mathrm{C} até T_f):
m_{\text{suco}}\,c\,(T_{\text{suco,\,i}}-T_f) = m_{\text{gelo}}\,L_f + m_{\text{gelo}}\,c\,(T_f-0^{\circ}\mathrm{C}).
Substituo os números:
300\cdot 4{,}18\cdot(35-T_f) = 75\cdot 334 + 75\cdot 4{,}18\cdot T_f.
Faço as contas passo a passo:
1254\,(35-T_f) = 25\,050 + 313{,}5\,T_f.
Multiplico e isolo T_f:
43\,890 - 1254\,T_f = 25\,050 + 313{,}5\,T_f.
43\,890 - 25\,050 = 1254\,T_f + 313{,}5\,T_f = 1567{,}5\,T_f.
T_f = \frac{18\,840}{1567{,}5} \approx 12{,}02^{\circ}\mathrm{C}.
Portanto, no caso (a) a temperatura final do suco no copo é aproximadamente \;12{,}02^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 5

Massa de líquido e de gelo no copo no caso (a).
  • Como todo o gelo derreteu, massa de gelo final: m_{\text{gelo,\,f}} = 0\\ \mathrm{g}.
  • Massa de líquido final: soma do suco inicial mais do gelo derretido:
m_{\text{líquido,\,f}} = m_{\text{suco}} + m_{\text{gelo}} = 300 + 75 = 375\\ \mathrm{g}.í

Passo 6

Caso (b): 6 pedrinhas ( m_{\text{gelo}}=150\\ \mathrm{g}). Calor necessário para fundir TODO o gelo:
Q_{\text{fusão,\,total}} = 150\cdot 334 = 50\,100\\ \mathrm{J}.ã
Comparamos com Q_{\text{disponível}} = 43\,890\\ \mathrm{J}í. Agora Q_{\text{disponível}} < Q_{\text{fusão,\,total}}íã, portanto não há calor suficiente para derreter todo o gelo. Isso significa que a temperatura de equilíbrio será 0^{\circ}\mathrm{C} (pois haverá mistura de gelo e água a 0^{\circ}\mathrm{C}).
A massa de gelo que consegue derreter é dada por:
m_{\text{derretida}} = \frac{Q_{\text{disponível}}}{L_f} = \frac{43\,890}{334} \approx 131{,}4\\ \mathrm{g}.í
Logo, massa de gelo remanescente:
m_{\text{gelo,\,f}} = m_{\text{gelo}} - m_{\text{derretida}} = 150 - 131{,}4 = 18{,}6\\ \mathrm{g}.
Massa de líquido final (suco líquido inicial + gelo que derreteu):
m_{\text{líquido,\,f}} = 300 + 131{,}4 = 431{,}4\\ \mathrm{g}.í
Temperatura final: T_f = 0^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 7

Resumo rápido dos resultados calculados (antes da resposta final):
  • Caso (a), com 3 pedrinhas ( 75\\ \mathrm{g} de gelo): temperatura final \approx 12{,}02^{\circ}\mathrm{C}; massa de líquido final 375\\ \mathrm{g}; massa de gelo final 0\\ \mathrm{g}.
  • Caso (b), com 6 pedrinhas ( 150\\ \mathrm{g} de gelo): temperatura final 0^{\circ}\mathrm{C}; massa de líquido final \approx 431{,}4\\ \mathrm{g}; massa de gelo final \approx 18{,}6\\ \mathrm{g}.

Resposta

(a) T_f \approx 12{,}02^{\circ}\mathrm{C}.
(b) T_f = 0^{\circ}\mathrm{C}.
(c) Para 3 pedrinhas: m_{\text{líquido,\,f}} = 375\\ \mathrm{g}í e m_{\text{gelo,\,f}} = 0\\ \mathrm{g}.
Para 6 pedrinhas: m_{\text{líquido,\,f}} \approx 431{,}4\\ \mathrm{g}í e m_{\text{gelo,\,f}} \approx 18{,}6\\ \mathrm{g}.

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