Um objeto de massa m move-se com velocidade \left\|\vec{v}_{1 i}\right\| ao longo da direção horizontal, no sentido positivo do eixo \hat{x}. Este objeto sofre uma colisão elástica unidimensional com outro objeto de massa M, o qual está inicialmente em repouso. Instantes após a colisão, o objeto de massa M tem velocidade \left\|\vec{v}_{2 f}\right\|, movendo-se na horizontal, no sentido positivo do eixo \hat{x}. É sabido que \left\|\vec{v}_{2 f}\right\|<\left\|\vec{v}_{1 i}\right\|. Determine o valor da massa M em função dos parâmetros m,\left\|\vec{v}_{1 i}\right\| e \left\|\vec{v}_{2 f}\right\|.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo com calma para não nos perder):
  • Um objeto de massa m move-se inicialmente na direção positiva do eixo \hat{x} com velocidade de módulo \left\|\vec{v}_{1 i}\right\|.
  • Outro objeto de massa M está inicialmente em repouso, ou seja sua velocidade inicial tem módulo \left\|\vec{v}_{2 i}\right\|=0.
  • Após uma colisão elástica unidimensional, o objeto de massa M tem velocidade de módulo \left\|\vec{v}_{2 f}\right\|, também no sentido positivo do eixo \hat{x}.
  • É sabido que \left\|\vec{v}_{2 f}\right\|<\left\|\vec{v}_{1 i}\right\|.
  • O que o enunciado pede: determinar a massa M em função de m,\left\|\vec{v}_{1 i}\right\| e \left\|\vec{v}_{2 f}\right\|.

Passo 2

Simplifico a notação para trabalhar com escalares (todas as velocidades mencionadas são no sentido positivo de \hat{x}, então posso tratar seus módulos como velocidades algébricas positivas). Defino:
v_{1i}=\left\|\vec{v}_{1 i}\right\|,\qquad v_{2i}=0,\qquad v_{2f}=\left\|\vec{v}_{2 f}\right\|,
e v_{1f} será a velocidade (positiva ou negativa, em geral) do corpo de massa m após a colisão — esse valor é incógnita. Vamos usar as leis que valem numa colisão elástica unidimensional: conservação do momento linear e conservação da energia cinética.

Passo 3

Escrevo a conservação do momento linear (soma dos momentos antes = soma depois). Como todas as velocidades referidas são ao longo de \hat{x}:
m v_{1i} + M v_{2i} = m v_{1f} + M v_{2f}.
Como v_{2i}=0, isso fica
m v_{1i} = m v_{1f} + M v_{2f}.

Passo 4

Escrevo a conservação da energia cinética (colisão elástica):
\tfrac{1}{2} m v_{1i}^2 + \tfrac{1}{2} M v_{2i}^2 = \tfrac{1}{2} m v_{1f}^2 + \tfrac{1}{2} M v_{2f}^2.
Com v_{2i}=0:
\tfrac{1}{2} m v_{1i}^2 = \tfrac{1}{2} m v_{1f}^2 + \tfrac{1}{2} M v_{2f}^2.
Multiplicando por 2 para simplificar:
m v_{1i}^2 = m v_{1f}^2 + M v_{2f}^2.

Passo 5

Isolo v_{1f} a partir da equação de momento (isso facilita eliminar v_{1f} na equação da energia). Da equação
m v_{1i} = m v_{1f} + M v_{2f},
obtemos
v_{1f} = v_{1i} - \frac{M}{m}\,v_{2f}.
Expliquei: passei m v_{1f} para o lado esquerdo e dividi por m.

Passo 6

Substituo essa expressão de v_{1f} na equação da energia (passo a passo, sem pular etapas):
A equação da energia é
m v_{1i}^2 = m v_{1f}^2 + M v_{2f}^2.
Divido ambos os lados por m para simplificar:
v_{1i}^2 = v_{1f}^2 + \frac{M}{m}\,v_{2f}^2.
Agora substituo v_{1f}=v_{1i}-\dfrac{M}{m}v_{2f}:
v_{1i}^2 = \left(v_{1i}-\frac{M}{m}v_{2f}\right)^2 + \frac{M}{m}v_{2f}^2.
Desenvolvo o quadrado no lado direito:
v_{1i}^2 = v_{1i}^2 - 2 v_{1i}\frac{M}{m}v_{2f} + \left(\frac{M}{m}\right)^2 v_{2f}^2 + \frac{M}{m}v_{2f}^2.
Agora cancelo v_{1i}^2 dos dois lados (eles aparecem iguais):
0 = - 2 v_{1i}\frac{M}{m}v_{2f} + \left(\frac{M}{m}\right)^2 v_{2f}^2 + \frac{M}{m}v_{2f}^2.

Passo 7

Multiplico a última igualdade por m^2 para eliminar frações (faço isso para ficar mais limpo):
0 = -2 M m v_{1i} v_{2f} + M^2 v_{2f}^2 + M m v_{2f}^2.
Agora fatoro M no lado direito:
0 = M\big(-2 m v_{1i} v_{2f} + M v_{2f}^2 + m v_{2f}^2\big).
Como M não é zero (procuramos seu valor), podemos dividir por M e obter:
0 = -2 m v_{1i} v_{2f} + M v_{2f}^2 + m v_{2f}^2.
Isolo M:
M v_{2f}^2 = 2 m v_{1i} v_{2f} - m v_{2f}^2.
Coloco em forma de fator comum no lado direito:
M v_{2f}^2 = m v_{2f}\big(2 v_{1i} - v_{2f}\big).
Finalmente, divido por v_{2f}^2 (lembrando que v_{2f}\neq 0 porque a questão diz que após a colisão M tem velocidade \left\|\vec{v}_{2 f}\right\|):
M = m\,\frac{2 v_{1i} - v_{2f}}{v_{2f}}.

Passo 8

Interpretação curta (pra te dar confiança): a expressão encontrada é consistente com casos conhecidos. Por exemplo, se v_{2f} for pequeno, M fica grande; se v_{2f}=\dfrac{2m}{m+M}v_{1i} (a fórmula padrão para colisão elástica com alvo em repouso), a expressão acima é equivalente — aqui chegamos ao resultado por eliminação direta das equações de conservação. Tudo coerente.

Resposta

M = m\,\frac{2\left\|\vec{v}_{1 i}\right\| - \left\|\vec{v}_{2 f}\right\|}{\left\|\vec{v}_{2 f}\right\|}

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