Uma partícula de massa 1,0 \mathrm{~kg} é lançada verticalmente para cima com velocidade de módulo 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \mathrm{em} \mathrm{um} \mathrm{local} em que a resistência do ar é desprezível e |\vec{g}|=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Adotando o nível horizontal do ponto de lançamento como plano de referência, calcule:
a) a energia mecânica da partícula;
b) a altura do ponto em que a energia cinética é o triplo da potencial de gravidade.

Passo 1

O enunciado nos dá uma partícula de massa 1{,}0 kg lançada verticalmente para cima com velocidade de módulo 20 m/s, em região onde a resistência do ar é desprezível e |\vec g|=10 m/ s^{2}. Adota‐se como plano de referência o nível de lançamento h=0. Pede‐se:
a) a energia mecânica inicial da partícula;
b) a altura y em que a energia cinética vale o triplo da energia potencial gravitacional.
Como não há forças não‐conservativas, usaremos a conservação da energia mecânica.

Passo 2

A energia mecânica inicial é
E = K_0 + U_0 \,,
onde K_0 = \tfrac12 m v_0^2 e U_0 = mg\,0 = 0. Logo,
E = \tfrac12\cdot1{,}0\cdot20^2 = 200\\ \text{J}.

Passo 3

No ponto em que queremos K = 3U, escrevemos
K = \tfrac12 m v^2, \quad U = m g y,
e impomos
\tfrac12 m v^2 = 3\,m g y \quad\Longrightarrow\quad v^2 = 6\,g\,y.

Passo 4

Pela conservação da energia mecânica, em qualquer altura y vale
\tfrac12 m v^2 + m g y = E = 200\\ \text{J}.
Substituindo v^2 = 6 g y e dividindo por m=1:
\tfrac12\cdot6\,g\,y + g\,y = 200 \quad\Longrightarrow\quad 3g\,y + g\,y = 200 \quad\Longrightarrow\quad 4g\,y = 200.

Passo 5

Isolando y:
y = \frac{200}{4\cdot10} = 5\\ \text{m}.

Resposta

a) 200\\ \text{J}.
b) 5\\ \text{m}.

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