Um dublê deverá gravar uma cena de um filme de ação na qual tiros serão disparados contra ele, que estará mergulhando nas águas de um lago profundo, descrevendo uma trajetória horizontal. Os projéteis serão expelidos com velocidade de intensidade
e realizarão movimentos verticais
a partir de uma altura
em relação à superfície líquida. No local, a aceleração da gravidade tem módulo
e a influência do ar é desprezível. Admitindo-se que dentro da água a força total de resistência que cada projétil recebe durante a penetração tem intensidade constante e igual ao triplo de seu peso, determine, em função de
e
, a profundidade segura p em que o dublê deverá se deslocar para não ser atingido por nenhum projétil.
a partir de uma altura
Passo 1
Resumindo o enunciado: um projétil é disparado horizontalmente com velocidade inicial
a partir de uma altura
acima da água. Ele cai livremente até a superfície, atinge a água com certa velocidade e então penetra no líquido sofrendo força de resistência constante de módulo
. Queremos a profundidade
em função de
,
e
para que o projétil pare antes de atingir o dublê.
Passo 2
Primeiro, calculamos a velocidade do projétil no instante em que entra na água. Na queda livre de altura
, a componente vertical da velocidade vale
Como a componente horizontal permanece igual a
, a velocidade total na entrada é
Passo 3
Dentro da água, a única força dissipativa faz trabalho contra o projétil até pará-lo. Pelo teorema do trabalho e energia,
onde
e
é o percurso total no interior da água. Logo,
Passo 4
Para achar a profundidade vertical
, projetamos esse percurso
na direção vertical de entrada. A fração vertical do deslocamento é igual a
, onde
é o ângulo de entrada tal que
Portanto,