Uma bobina consiste de 1000 espiras enroladas em um núcleo toroidal como mostrado abaixo, sendo os raios R=6 \mathrm{~cm} e r=1 \mathrm{~cm}. Calcule a corrente que deve circular por esta bobina para que se estabeleça um fluxo magnético de 0,2 \mathrm{mWb}, nos seguintes casos:
a. Sendo o núcleo de material não-magnético;
b. Sendo o núcleo de ferro com uma permeabilidade relativa igual a 2000.

Passo 1

O enunciado descreve um toroide de N=1000 espiras, raio médio R=6\text{ cm} e seção circular de raio r=1\text{ cm}. Queremos estabelecer um fluxo magnético \Phi=0{,}2\text{ mWb}=2\times10^{-4}\,\text{Wb} no núcleo, nos casos (a) núcleo não magnético \mu_r=1 e (b) núcleo de ferro \mu_r=2000. Usaremos:
  1. A definição de fluxo magnético \Phi=B\,A.
  2. A lei de Ampère no toroide:
\oint H\,dl = N\,I \quad\Longrightarrow\quad H\,l = N\,I,
onde l=2\pi R é o comprimento médio do núcleo e B=\mu_0\mu_r H.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal do toroide:
A = \pi r^2 = \pi (0{,}01\,\text{m})^2 = \pi\times10^{-4}\,\text{m}^2.

Passo 3

Determinar a densidade de fluxo B necessária para obter \Phi:
B = \frac{\Phi}{A} = \frac{2\times10^{-4}}{\pi\times10^{-4}} = \frac{2}{\pi}\approx0{,}637\,\text{T}.

Passo 4

Calcular o comprimento médio do toroide:
l = 2\pi R = 2\pi\times0{,}06\,\text{m}\approx0{,}377\,\text{m}.

Passo 5

Caso (a): núcleo não magnético \mu_r=1.
A permeabilidade é \mu=\mu_0\mu_r=\mu_0.
Logo
H = \frac{B}{\mu_0} = \frac{0{,}637}{4\pi\times10^{-7}} \approx5,07\times10^{5}\,\text{A/m}.
Pela lei de Ampère:
I = \frac{H\,l}{N} = \frac{5{,}07\times10^{5}\times0{,}377}{1000} \approx191\,\text{A}.

Passo 6

Caso (b): núcleo de ferro \mu_r=2000.
A permeabilidade é \mu=\mu_0\mu_r=2000\,\mu_0.
Logo
H = \frac{B}{\mu_0\,2000} = \frac{0{,}637}{4\pi\times10^{-7}\times2000} \approx2,535\times10^{2}\,\text{A/m}.
E a corrente:
I = \frac{H\,l}{N} = \frac{2{,}535\times10^{2}\times0{,}377}{1000} \approx0{,}096\,\text{A}.

Resposta

(a) I\approx191\text{ A}
(b) I\approx0{,}096\text{ A}

Exercícios relacionados