Uma partícula se move no espaço com aceleração constante. No tempo zero, a partícula está em x=4,0 m, y=3,0 m e z=5,0 m. Para este tempo (t=0), a velocidade e a aceleração são dadas por:
v=(6,0 m / s) i+(-7,0 m / s) j+(2,0 m / s) k e a=(3,0 m / s^2) i+(2,0 m / s^2) j
Determine a posição em t=3,0 s.

Passo 1

Vamos resolver um problema de movimento com aceleração constante. Temos uma partícula que, no tempo inicial $ t = 0 $, está nas coordenadas $ x = 4,0 , m $, $ y = 3,0 , m $, e $ z = 5,0 , m $. A velocidade inicial e a aceleração são dadas pelas equações vetoriais:
t = 0
x = 4,0 , m
Queremos determinar a posição da partícula no instante $ t = 3,0 , s $. Para isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado em cada direção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o movimento da partícula pode ser analisado separadamente em cada uma das três direções: $ x $, $ y $ e $ z $. Isso significa que podemos calcular a posição em cada direção independentemente e depois combinar os resultados para obter a posição final.

Passo 3

Para o movimento com aceleração constante, a posição em qualquer direção é dada pela fórmula:
s(t) = s0 + v0 t + 12 a t^2
onde:
  • $ s(t) $ é a posição no tempo $ t $,
  • $ s_0 $ é a posição inicial,
  • $ v_0 $ é a velocidade inicial,
  • $ a $ é a aceleração,
  • $ t $ é o tempo.
Vamos aplicar essa fórmula em cada uma das direções $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 4

Direção $ x $:
Dados:
  • $ s_{0x} = 4,0 , m $
  • $ v_{0x} = 6,0 , m/s $
  • $ a_x = 3,0 , m/s^2 $
  • $ t = 3,0 , s $
Aplicando a fórmula:
x
s0x = 4,0 , m
v0x = 6,0 , m/s
ax = 3,0 , m/s^2

Passo 5

Direção $ y $:
Dados:
  • $ s_{0y} = 3,0 , m $
  • $ v_{0y} = -7,0 , m/s $
  • $ a_y = 2,0 , m/s^2 $
  • $ t = 3,0 , s $
Aplicando a fórmula:
y
s0y = 3,0 , m
v0y = -7,0 , m/s
ay = 2,0 , m/s^2

Passo 6

Direção $ z $:
Para a direção $ z z ãáçã a_z = 0 z é v_{0z} = 2,0 , m/s $).
Dados:
  • $ s_{0z} = 5,0 , m $
  • $ v_{0z} = 2,0 , m/s $
  • $ a_z = 0 , m/s^2 $
  • $ t = 3,0 , s $
Aplicando a fórmula simplificada (já que $ a_z = 0 $):
az = 0
v0z = 2,0 , m/s
s0z = 5,0 , m

Resposta

No tempo $ t = 3,0 , s $, a posição da partícula é:
t = 3,0 , s

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