Uma partícula possui um vetor posição dado por:
r=(20 t+5,0 t^2) i+(20 t-4,5 t^3) j
na qual r é expresso em metros e t em segundos.
Determine o vetor aceleração instantânea e calcule seus valores para os instantes do item a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá o vetor posição de uma partícula em função do tempo $ t $. A gente precisa encontrar o vetor aceleração instantânea, que é basicamente como a velocidade está mudando em cada instante. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o vetor posição. Ele está dado por:
r(t) = (20 t + 5.0 t^2) i + (20 t - 4.5 t^3) j
Aqui, $ \hat{i} $ e $ \hat{j} $ são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente. Isso significa que a posição da partícula depende do tempo em ambas as direções.

Passo 3

Para achar a aceleração instantânea, precisamos derivar o vetor posição duas vezes em relação ao tempo. A primeira derivada vai nos dar a velocidade, e a segunda derivada, a aceleração.

Passo 4

Vamos começar encontrando a primeira derivada de $ \vec{r}(t) $ para obter a velocidade $ \vec{v}(t) $:
r(t)
Derivando termo a termo:
v(t)

Passo 5

Agora, vamos derivar $ \vec{v}(t) $ para encontrar a aceleração $ \vec{a}(t) $:
v(t)
Derivando:
a(t)

Resposta

O vetor aceleração instantânea é:
a(t) = 10 i - 27 t j m/s^2

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