Uma partícula possui um vetor posição dado por:
na qual
é expresso em metros e
em segundos.
Determine o vetor aceleração instantânea e calcule seus valores para os instantes do item a.
Determine o vetor aceleração instantânea e calcule seus valores para os instantes do item a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá o vetor posição de uma partícula em função do tempo $ t $. A gente precisa encontrar o vetor aceleração instantânea, que é basicamente como a velocidade está mudando em cada instante. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a aceleração a partir da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o vetor posição. Ele está dado por:
Aqui, $ \hat{i} $ e $ \hat{j} $ são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente. Isso significa que a posição da partícula depende do tempo em ambas as direções.
Passo 3
Para achar a aceleração instantânea, precisamos derivar o vetor posição duas vezes em relação ao tempo. A primeira derivada vai nos dar a velocidade, e a segunda derivada, a aceleração.
Passo 4
Vamos começar encontrando a primeira derivada de $ \vec{r}(t) $ para obter a velocidade $ \vec{v}(t) $:
Derivando termo a termo:
Passo 5
Agora, vamos derivar $ \vec{v}(t) $ para encontrar a aceleração $ \vec{a}(t) $:
Derivando:
Resposta
O vetor aceleração instantânea é: