Uma partícula se move no espaço com aceleração constante. No tempo zero, a partícula está em x=4,0 m, y=3,0 m e z=5,0 m. Para este tempo (t=0), a velocidade e a aceleração são dadas por:
v=(6,0 m / s) i+(-7,0 m / s) j+(2,0 m / s) k e a=(3,0 m / s^2) i+(2,0 m / s^2) j
Forneça o módulo e o ângulo que o vetor posição faz com o plano xy em t=4,0 s.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de movimento no espaço com aceleração constante. A partícula começa no ponto $ (4,0, \mathrm{m}, 3,0, \mathrm{m}, 5,0, \mathrm{m}) $ e tem uma velocidade e aceleração iniciais fornecidas. Precisamos encontrar o módulo do vetor posição e o ângulo que este vetor forma com o plano $ xy $ após $ 4,0 $ segundos. Para isso, vamos usar as equações do movimento retilíneo uniformemente acelerado nas três dimensões e conceitos de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a posição da partícula após $ t = 4,0, \mathrm{s} $. Como a aceleração é constante, usamos a fórmula da posição para cada coordenada:
t = 4,0, s
onde:
  • $ s(t) $ é a posição no tempo $ t $,
  • $ s_0 $ é a posição inicial,
  • $ v_0 $ é a velocidade inicial,
  • $ a $ é a aceleração.

Passo 3

Vamos calcular a posição na direção $ x $:
x
Substituindo os valores:
x(t) = x0 + v0x t + 12 ax t^2
x(t) = 4,0, m + 6,0, m/s times 4,0, s + 12 times 3,0, m/s^2 times (4,0, s)^2

Passo 4

Agora, a posição na direção $ y $:
y
Substituindo os valores:
y(t) = y0 + v0y t + 12 ay t^2
y(t) = 3,0, m + (-7,0, m/s) times 4,0, s + 12 times 2,0, m/s^2 times (4,0, s)^2

Passo 5

Para a posição na direção $ z $, como não há aceleração:
z
Substituindo os valores:
z(t) = z0 + v0z t

Passo 6

Agora, temos a posição completa no tempo $ t = 4,0, \mathrm{s} $:
t = 4,0, s

Passo 7

Para encontrar o módulo do vetor posição:
|r| = raizx^2 + y^2 + z^2
Substituindo:
|r| = raiz52,0^2 + (-9,0)^2 + 13,0^2 = raiz2704 + 81 + 169 = raiz2954 approx 54,35, m

Passo 8

Para calcular o ângulo $ \theta $ que o vetor posição faz com o plano $ xy $, usamos a tangente:
theta
Substituindo os valores:
xy
tan theta = zraizx^2 + y^2

Resposta

Após $ 4,0, \mathrm{s} $, o vetor posição da partícula possui um módulo de aproximadamente $ 54,35, \mathrm{m} $ e forma um ângulo de aproximadamente $ 13,9^\circ $ com o plano $ xy $.

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