Uma partícula se move no espaço com aceleração constante. No tempo zero, a partícula está em
. Para este tempo
, a velocidade e a aceleração são dadas por:
Forneça o módulo e o ângulo que o vetor posição faz com o plano
em
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de movimento no espaço com aceleração constante. A partícula começa no ponto $ (4,0, \mathrm{m}, 3,0, \mathrm{m}, 5,0, \mathrm{m}) $ e tem uma velocidade e aceleração iniciais fornecidas. Precisamos encontrar o módulo do vetor posição e o ângulo que este vetor forma com o plano $ xy $ após $ 4,0 $ segundos. Para isso, vamos usar as equações do movimento retilíneo uniformemente acelerado nas três dimensões e conceitos de trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a posição da partícula após $ t = 4,0, \mathrm{s} $. Como a aceleração é constante, usamos a fórmula da posição para cada coordenada:
onde:
- $ s(t) $ é a posição no tempo $ t $,
- $ s_0 $ é a posição inicial,
- $ v_0 $ é a velocidade inicial,
- $ a $ é a aceleração.
Passo 3
Vamos calcular a posição na direção $ x $:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, a posição na direção $ y $:
Substituindo os valores:
Passo 5
Para a posição na direção $ z $, como não há aceleração:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, temos a posição completa no tempo $ t = 4,0, \mathrm{s} $:
Passo 7
Para encontrar o módulo do vetor posição:
Substituindo:
Passo 8
Para calcular o ângulo $ \theta $ que o vetor posição faz com o plano $ xy $, usamos a tangente:
Substituindo os valores:
Resposta
Após $ 4,0, \mathrm{s} $, o vetor posição da partícula possui um módulo de aproximadamente $ 54,35, \mathrm{m} $ e forma um ângulo de aproximadamente $ 13,9^\circ $ com o plano $ xy $.