(Vale: 1,0 ) Calcule e simplifique:
\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a raiz quadrada do número complexo
z = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\,i.
O conteúdo envolvido é cálculo de raiz de número complexo em forma polar. Vamos usar a conversão para forma re^{i\theta}, aplicar a fórmula da raiz e voltar para a forma a+bi.

Passo 2

Encontramos o módulo r e o argumento \theta de z.
r = |z| = \sqrt{\Bigl(\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr)^2} = \sqrt{\frac{2}{4} + \frac{2}{4}} = \sqrt{1} = 1.
\theta = \arg(z) = \arctan\!\bigl(\tfrac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}\bigr) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}.

Passo 3

Para a raiz principal usamos
\sqrt{z} = \sqrt{r}\,\bigl[\cos(\tfrac{\theta}{2}) + i\,\sin(\tfrac{\theta}{2})\bigr] = \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr) + i\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr).

Passo 4

Aplicamos as fórmulas de meio ângulo para \pi/8:
\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr) = \sqrt{\frac{1+\cos(\pi/4)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2},
\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr) = \sqrt{\frac{1-\cos(\pi/4)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.

Passo 5

Substituindo essas expressões, a raiz quadrada fica
\sqrt{z} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} + i\,\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.

Resposta

\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} + i\,\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.

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