Uma partícula move-se de forma tal que a sua posição é dada por r=\left(2 . t^{4}\right) . i+(3 . t) . j+(4) . k(S I). Assinale a alternativa correta que representa a função da aceleração deste móvel, em \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}.
A \square \left(24 . \mathrm{t}^{2}\right) . \mathrm{i}+(3) . \mathrm{j}+(4) . \mathrm{k}
B \square \left(8 . t^{3}\right) . i+(3) . j+(0) . k
c \square \left(8 . t^{3}\right) . i+(0) . j+(0) . k
D \square \left(24 . \mathrm{t}^{2}\right) . \mathrm{i}+(3) . \mathrm{j}+(0) . \mathrm{k}
E \square \left(24 . t^{2}\right) . i+(0) . j+(0) . k

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo (unidades SI):
\mathbf{r}(t) = (2t^{4})\,\mathbf{i} + (3t)\,\mathbf{j} + (4)\,\mathbf{k}.
Pede para identificar a função aceleração do móvel, em \mathrm{m/s^{2}}, entre as alternativas A, B, C, D e E fornecidas. Informações relevantes que temos: \mathbf{r}(t) está dada componente a componente; t é o tempo (segundos); as constantes 2, 3 e 4 são valores numéricos em metros quando multiplicam potências de t ou são constantes. A tarefa é achar \mathbf{a}(t).

Passo 2

O que significa “aceleração” aqui? Definições essenciais (sem pular etapas):
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}
é a velocidade (derivada primeira da posição) e
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}
é a aceleração (derivada segunda da posição). Explico as regras de derivação que usaremos:
  • Regra do coeficiente constante: se c é constante e f(t) uma função, \frac{d}{dt}\big(c\cdot f(t)\big)=c\cdot \frac{d}{dt}f(t).
  • Regra do poder (power rule): para f(t)=t^{n} com n real, \frac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}.
  • A derivada de uma constante é zero: \frac{d}{dt}c=0.
Vamos aplicar isso componente a componente, porque derivada de vetor é derivada de cada componente.

Passo 3

Calculando a velocidade \mathbf{v}(t)=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt} componente a componente.
Componente x (no eixo \mathbf{i}):
\frac{d}{dt}(2t^{4}) = 2\cdot \frac{d}{dt}(t^{4}) = 2\cdot (4t^{3}) = 8t^{3}.
Componente y (no eixo \mathbf{j}):
\frac{d}{dt}(3t) = 3\cdot \frac{d}{dt}(t) = 3\cdot 1 = 3.
Componente z (no eixo \mathbf{k}):
\frac{d}{dt}(4) = 0.
Portanto
\mathbf{v}(t) = (8t^{3})\,\mathbf{i} + 3\,\mathbf{j} + 0\,\mathbf{k}.

Passo 4

Agora calculamos a aceleração \mathbf{a}(t)=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}=\dfrac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}} novamente componente a componente.
Componente x:
\frac{d}{dt}(8t^{3}) = 8\cdot \frac{d}{dt}(t^{3}) = 8\cdot (3t^{2}) = 24t^{2}.
Componente y:
\frac{d}{dt}(3) = 0.
Componente z:
\frac{d}{dt}(0) = 0.
Logo
\mathbf{a}(t) = (24t^{2})\,\mathbf{i} + 0\,\mathbf{j} + 0\,\mathbf{k}.

Passo 5

Cheque rápido de consistência e unidades: \mathbf{r} tem dimensão de comprimento (m), \mathbf{v} tem dimensão m/s e \mathbf{a} tem dimensão m/s ^2. Componentes constantes da posição (como 4 em \mathbf{k}) desaparecem na velocidade e na aceleração, e termos lineares em t (como 3t) desaparecem na aceleração porque sua segunda derivada é zero. Isso confirma que só resta componente não-nula em \mathbf{i} com 24t^{2}.

Passo 6

Compare a expressão encontrada com as alternativas: a que coincide é a alternativa E.

Resposta

E \\ (24t^{2})\,\mathbf{i}+(0)\,\mathbf{j}+(0)\,\mathbf{k}

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