Uma mola de comprimento relaxado l0 e constante elástica k está disposta verticalmente com uma extremidade fixada no solo. Sobre ela, deixa-se cair verticalmente para baixo, a partir do repouso, um bloco de massa m de uma altura a l0 acima do solo, onde a é uma constante positiva. Se a compressão máxima atingida pela mola ao amortecer a queda é 6 mg / k (considere menor que l0 ), determine a razão u=m g /(k l0). (Dica: este problema pode ser resolvido usando apenas a conservação de energia entre os pontos de maior e menor altitude do bloco, a quantidade u aparecerá naturalmente nas equações)

Passo 1

Beleza, esse exercício é de Mecânica – especificamente Conservação de Energia. A gente tem:
  • Uma mola de constante elástica e comprimento relaxado presa no chão.
  • Um bloco de massa largado do repouso a uma altura acima do solo.
  • A mola comprime até .
    O que precisamos usar:
  1. Energia potencial gravitacional .
  2. Energia potencial elástica .
  3. Conservação de energia mecânica entre o início (topo) e o ponto de compressão máxima.

Passo 2

Vamos pôr o nível zero de gravidade no chão.
  • Energia inicial (só gravidade, nada de mola comprimida nem velocidade): Ei = m g (a,l0)
  • Energia final no ponto de compressão Ef = m g (hf) + tfrac12,k,x^2, (a velocidade zera de novo): m g (a,l0) ;=; m g (l0 - x) ;+;tfrac12,k,x^2 onde a altura final do bloco é (porque a mola, livre em , foi comprimida em ).
    Pela conservação:

Passo 3

Reescrevendo a equação:
m g,a,l0 = m g,l0 ;-; m g,x ;+;tfrac12,k,x^2 ;;Longrightarrow;; m g,l0,(a -1) + m g,x = tfrac12,k,x^2
Como m g,l0,(a -1) + m g!l(6,mgkr) = tfrac12,k!l(6,mgkr)^2 , substitui:
m g,l0,(a -1) + 6,tfracm^2g^2k = 18,tfracm^2g^2k ;;Longrightarrow;; m g,l0,(a -1) = 12,tfracm^2g^2k
Calculando cada termo:
  • .

  • Então:

Passo 4

Isolando a razão m g,l0,(a -1) = 12,tfracm^2g^2k ;;Longrightarrow;; a -1 = 12,mgk,l0 = 12,u :
u = a - 112
Logo:

Resposta

boxed,u = m gk,l0 = a - 112,

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