Uma partícula se move em linha reta sob ação do potencial conservativo
, onde a e b são constantes positivas. Determine a força que age sobre ela e quais os pontos de equilíbrio estável e instável. Qual a energia mínima permitida para esta partícula? (Dica: Para encontrar a energia mínima lembre que a energia cinética não pode ser negativa, sendo assim a energia mínima será igual ao mínimo de potencial, además trata-se apenas de um problema de extremização de funções.)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move em linha reta sob a influência de um potencial conservativo dado por $ U(x) = \frac{a}{x^{4}} - \frac{b}{x^{2}} $, onde $ a $ e $ b $ são constantes positivas. Precisamos determinar:
- A força que age sobre a partícula.
- Os pontos de equilíbrio estável e instável.
- A energia mínima permitida para a partícula.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, como a relação entre força e potencial, equilíbrio estável/instável e análise da energia potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a força que age sobre a partícula. Sabemos que a força $ F(x) $ está relacionada ao potencial $ U(x) $ pela derivada negativa:
Vamos calcular a derivada de $ U(x) $.
Passo 3
Calculando a derivada de $ U(x) = \frac{a}{x^{4}} - \frac{b}{x^{2}} $:
Então, a força é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos de equilíbrio. Os pontos de equilíbrio ocorrem onde a força é zero:
Vamos resolver essa equação para $ x $.
Passo 5
Igualando a força a zero:
Dividindo ambos os lados por $ 2x^{3} $:
Como estamos lidando com movimento em linha reta e potencial definido para $ x \ne 0 $, consideramos apenas $ x > 0 $:
Passo 6
Para determinar se o ponto de equilíbrio é estável ou instável, analisamos a segunda derivada do potencial $ U(x) $ no ponto encontrado.
Primeiro, calculamos $ \frac{d{2}U}{dx{2}} $:
Avaliar essa segunda derivada no ponto $ x = \sqrt{\frac{2a}{b}} $.
Passo 7
Substituindo $ x = \sqrt{\frac{2a}{b}} $ na segunda derivada:
Simplificando:
Como a segunda derivada é positiva, o ponto de equilíbrio é estável.
Passo 8
Por fim, vamos determinar a energia mínima permitida para a partícula. Sabemos que a energia cinética $ K $ não pode ser negativa, então a energia total $ E = K + U(x) $ tem como mínimo o valor mínimo do potencial $ U(x) $.
Vamos encontrar o mínimo de $ U(x) $.
Passo 9
Encontramos que o mínimo de $ U(x) $ ocorre no ponto de equilíbrio $ x = \sqrt{\frac{2a}{b}} $. Calculando $ U $ nesse ponto:
Então, a energia mínima permitida é $ -\frac{b^{2}}{4a} $.
Resposta
A força que age sobre a partícula é $ F(x) = \frac{4a}{x^{5}} - \frac{2b}{x^{3}} $. O ponto de equilíbrio estável ocorre em $ x = \sqrt{\frac{2a}{b}} $. A energia mínima permitida para a partícula é $ E_{min} = -\frac{b^{2}}{4a} $.