Uma partícula se move em linha reta sob ação do potencial conservativo U(x)=ax^4-bx^2, onde a e b são constantes positivas. Determine a força que age sobre ela e quais os pontos de equilíbrio estável e instável. Qual a energia mínima permitida para esta partícula? (Dica: Para encontrar a energia mínima lembre que a energia cinética não pode ser negativa, sendo assim a energia mínima será igual ao mínimo de potencial, además trata-se apenas de um problema de extremização de funções.)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move em linha reta sob a influência de um potencial conservativo dado por $ U(x) = \frac{a}{x^{4}} - \frac{b}{x^{2}} $, onde $ a $ e $ b $ são constantes positivas. Precisamos determinar:
  1. A força que age sobre a partícula.
  2. Os pontos de equilíbrio estável e instável.
  3. A energia mínima permitida para a partícula.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, como a relação entre força e potencial, equilíbrio estável/instável e análise da energia potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a força que age sobre a partícula. Sabemos que a força $ F(x) $ está relacionada ao potencial $ U(x) $ pela derivada negativa:
F(x)
Vamos calcular a derivada de $ U(x) $.

Passo 3

Calculando a derivada de $ U(x) = \frac{a}{x^{4}} - \frac{b}{x^{2}} $:
U(x) = ax^4 - bx^2
Então, a força é:
dUdx = ddx( ax^4 ) - ddx( bx^2 ) = -4ax^5 + 2bx^3

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos de equilíbrio. Os pontos de equilíbrio ocorrem onde a força é zero:
F(x) = 4ax^5 - 2bx^3 = 0
Vamos resolver essa equação para $ x $.

Passo 5

Igualando a força a zero:
4ax^5 = 2bx^3 implies 4a x^3 = 2b x^5
Dividindo ambos os lados por $ 2x^{3} $:
2x^3
Como estamos lidando com movimento em linha reta e potencial definido para $ x \ne 0 $, consideramos apenas $ x > 0 $:
2a = b x^2 implies x^2 = 2ab implies x = pm raiz2ab

Passo 6

Para determinar se o ponto de equilíbrio é estável ou instável, analisamos a segunda derivada do potencial $ U(x) $ no ponto encontrado.
Primeiro, calculamos $ \frac{d{2}U}{dx{2}} $:
U(x)
Avaliar essa segunda derivada no ponto $ x = \sqrt{\frac{2a}{b}} $.

Passo 7

Substituindo $ x = \sqrt{\frac{2a}{b}} $ na segunda derivada:
x = raiz2ab
Simplificando:
d^2Udx^2 = 20a( raiz2ab )^6 - 6b( raiz2ab )^4
Como a segunda derivada é positiva, o ponto de equilíbrio é estável.

Passo 8

Por fim, vamos determinar a energia mínima permitida para a partícula. Sabemos que a energia cinética $ K $ não pode ser negativa, então a energia total $ E = K + U(x) $ tem como mínimo o valor mínimo do potencial $ U(x) $.
Vamos encontrar o mínimo de $ U(x) $.

Passo 9

Encontramos que o mínimo de $ U(x) $ ocorre no ponto de equilíbrio $ x = \sqrt{\frac{2a}{b}} $. Calculando $ U $ nesse ponto:
U(x)
Então, a energia mínima permitida é $ -\frac{b^{2}}{4a} $.

Resposta

A força que age sobre a partícula é $ F(x) = \frac{4a}{x^{5}} - \frac{2b}{x^{3}} $. O ponto de equilíbrio estável ocorre em $ x = \sqrt{\frac{2a}{b}} $. A energia mínima permitida para a partícula é $ E_{min} = -\frac{b^{2}}{4a} $.

Exercícios relacionados