Uma partícula se move ao longo da curva dada por
Seja
um campo escalar. Calcule
onde
é a curva parametrizada por
com
variando de 0 a
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício onde uma partícula se movimenta ao longo de uma curva definida por
para
. O objetivo é calcular a integral
, onde
é um campo escalar e
é a curva parametrizada por
no intervalo de
de
a
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de integrais de linha para campos escalares, parametrização de curvas e cálculo do elemento diferencial
.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar a função
em termos do parâmetro
. Substituímos as componentes de
em
:
Passo 3
Vamos simplificar
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, calculamos a norma do vetor derivada
:
A norma é:
Passo 5
Agora, montamos a integral:
Podemos fatorar
:
Passo 6
Calculamos a integral:
Multiplicando pelo fator fora da integral: