Uma partícula se move ao longo da curva dada por
sigma(t)=(1-cos t, 2 t, sen t), t >= 0
Seja f(x, y, z)=x^2+z^2 um campo escalar. Calcule
integralC f cdot d s
onde C é a curva parametrizada por sigma com t variando de 0 a 2 pi.

Passo 1

Vamos resolver um exercício onde uma partícula se movimenta ao longo de uma curva definida por sigma(t) = (1 - cos t, 2t, sin t) para t >= 0. O objetivo é calcular a integral integralC f cdot ds, onde f(x, y, z) = x^2 + z^2 é um campo escalar e C é a curva parametrizada por sigma(t) no intervalo de t de 0 a 2pi. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de integrais de linha para campos escalares, parametrização de curvas e cálculo do elemento diferencial ds.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a função f em termos do parâmetro t. Substituímos as componentes de sigma(t) em f(x, y, z):
f(sigma(t)) = (1 - cos t)^2 + (sin t)^2

Passo 3

Vamos simplificar f(sigma(t)):
f(sigma(t)) = (1 - 2cos t + cos^2 t) + sin^2 t
Sabemos que cos^2 t + sin^2 t = 1, então:
f(sigma(t)) = 1 - 2cos t + 1 = 2 - 2cos t

Passo 4

Agora, calculamos a norma do vetor derivada sigma'(t):
sigma'(t) = ( ddt(1 - cos t), ddt(2t), ddt(sin t) ) = (sin t, 2, cos t)
A norma é:
|sigma'(t)| = raiz(sin t)^2 + (2)^2 + (cos t)^2 = raizsin^2 t + cos^2 t + 4 = raiz1 + 4 = raiz5

Passo 5

Agora, montamos a integral:
integralC f cdot ds = integral0^2pi f(sigma(t)) cdot |sigma'(t)| , dt = integral0^2pi (2 - 2cos t) cdot raiz5 , dt
Podemos fatorar raiz5:
raiz5 integral0^2pi (2 - 2cos t) , dt = 2raiz5 integral0^2pi (1 - cos t) , dt

Passo 6

Calculamos a integral:
integral0^2pi (1 - cos t) , dt = [ t - sin t ]0^2pi = (2pi - 0) - (sin 2pi - sin 0) = 2pi
Multiplicando pelo fator fora da integral:
2raiz5 cdot 2pi = 4piraiz5

Resposta

integralC f cdot ds = 4piraiz5

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