Uma partícula se move ao longo da curva dada por
sigma(t)=(1-cos t, 2 t, sen t), t >= 0
Dê o vetor velocidade no momento t=pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move ao longo de uma curva definida por sigma(t) = (1 - cos t, 2t, sen t) para t >= 0. Nosso objetivo aqui é encontrar o vetor velocidade dessa partícula no instante t = pi. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas, já que o vetor velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor velocidade v(t) é a derivada do vetor posição sigma(t) em relação a t. Ou seja,
v(t) = dsigma(t)dt
Isso significa que precisamos derivar cada componente de sigma(t) em relação a t.

Passo 3

Vamos derivar cada componente de sigma(t):
  1. A primeira componente é 1 - cos t. A derivada de 1 é 0, e a derivada de -cos t é sin t. Então,
ddt(1 - cos t) = sin t
  1. A segunda componente é 2t. A derivada de 2t é simplesmente 2.
ddt(2t) = 2
  1. A terceira componente é sen t (que é o mesmo que sin t em português). A derivada de sin t é cos t.
ddt(sen t) = cos t

Passo 4

Agora que temos as derivadas das componentes, podemos montar o vetor velocidade:
v(t) = (sin t, 2, cos t)

Passo 5

Por último, vamos substituir t = pi nas componentes do vetor velocidade:
  1. sin pi = 0
  2. 2 continua sendo 2
  3. cos pi = -1
Então,
v(pi) = (0, 2, -1)

Resposta

O vetor velocidade no momento t = pi é v(pi) = (0,, 2,, -1).

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