Seja a superfície plana tomada no primeiro octante . Se é a função que fornece a densidade em cada ponto de , calcule a massa de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície plana definida pela equação no primeiro octante, ou seja, onde , e são maiores ou iguais a zero. A função de densidade é . Nosso objetivo é calcular a massa dessa superfície . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais sobre superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular a massa de uma superfície com uma função de densidade. A massa pode ser encontrada integrando a densidade sobre a superfície . Matematicamente, isso é expresso como:
Onde é um elemento de área na superfície .
Passo 3
Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a superfície . A equação da superfície é . Como estamos no primeiro octante (), podemos resolver essa equação para :
Assim, podemos usar e como parâmetros para a nossa parametrização:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o elemento de área na superfície parametrizada. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
O produto vetorial dessas derivadas nos dá um vetor normal à superfície: