Seja L a superfície plana 2 x+3 y+z=6 tomada no primeiro octante (x, y, z >= 0). Se f(x, y, z)=x+z é a função que fornece a densidade em cada ponto de R^3, calcule a massa de L.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície plana definida pela equação 2x + 3y + z = 6 no primeiro octante, ou seja, onde x, y e z são maiores ou iguais a zero. A função de densidade é f(x, y, z) = x + z. Nosso objetivo é calcular a massa dessa superfície L. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais sobre superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular a massa de uma superfície com uma função de densidade. A massa M pode ser encontrada integrando a densidade f(x, y, z) sobre a superfície L. Matematicamente, isso é expresso como:
M = integral duplaL f(x, y, z) , dS
Onde dS é um elemento de área na superfície L.

Passo 3

Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a superfície L. A equação da superfície é 2x + 3y + z = 6. Como estamos no primeiro octante ( x, y, z >= 0), podemos resolver essa equação para z:
z = 6 - 2x - 3y
Assim, podemos usar x e y como parâmetros para a nossa parametrização:
r(x, y) = (x, y, 6 - 2x - 3y)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o elemento de área dS na superfície parametrizada. Para isso, calculamos as derivadas parciais de r em relação a x e y:
rx = (1, 0, -2)
ry = (0, 1, -3)
O produto vetorial dessas derivadas nos dá um vetor normal à superfície:
rx times ry = i & j & k 1 & 0 & -2 0 & 1 & -3 = ( (0 cdot (-3)) - (1 cdot (-2)) )i - ( (1 cdot (-3)) - (0 cdot (-2)) )j + ( (1 cdot 1) - (0 cdot 0) )k ) = (2)i + (3)j + (1)k
A magnitude desse vetor é:
|rx times ry| = raiz2^2 + 3^2 + 1^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14
Então, o elemento de área é:
dS = raiz14 , dx , dy

Passo 5

Agora, substituímos a parametrização e o elemento de área na integral da massa:
M = integral duplaL f(x, y, z) , dS = integral duplaD (x + z) raiz14 , dx , dy
Lembrando que z = 6 - 2x - 3y, então:
M = raiz14 integral duplaD (x + 6 - 2x - 3y) , dx , dy = raiz14 integral duplaD (6 - x - 3y) , dx , dy

Passo 6

Agora, precisamos determinar os limites de integração na região D no plano xy. A superfície L intercepta os eixos nos pontos:
  • Quando y = 0 e z = 0: 2x = 6 x = 3
  • Quando x = 0 e z = 0: 3y = 6 y = 2
Então, a região D é um triângulo com vértices em (0,0), (3,0) e (0,2). A equação da linha que liga (3,0) a (0,2) é y = -23x + 2.
Portanto, os limites de integração são:
  • x varia de 0 a 3
  • Para cada x, y varia de 0 até $ -\frac{2}{3}x + 2 $

Passo 7

Agora, configuramos a integral dupla para a massa:
M = raiz14 integral0^3 integral0^-23x + 2 (6 - x - 3y) , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 8

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a y:
integral0^-23x + 2 (6 - x - 3y) , dy = [ (6 - x)y - 32y^2 ]0^-23x + 2
Substituindo os limites:
= (6 - x)(-23x + 2) - 32(-23x + 2)^2

Passo 9

Simplificamos a expressão:
(6 - x)(-23x + 2) = -23x(6 - x) + 2(6 - x) = -123x + 23x^2 + 12 - 2x = -4x + 23x^2 + 12 - 2x = 23x^2 -6x +12
-32(-23x + 2)^2 = -32 ( 49x^2 - 83x +4 ) = -32 cdot 49x^2 + 32 cdot 83x - 32 cdot4 = -23x^2 +4x -6
Somando as duas partes:
23x^2 -6x +12 -23x^2 +4x -6 = (-6x +4x) + (12 -6) = -2x +6

Passo 10

Agora, a integral da massa fica:
M = raiz14 integral0^3 (-2x +6) , dx
Vamos resolver essa integral:
integral0^3 (-2x +6) , dx = [ -x^2 +6x ]0^3 = ( -9 +18 ) - (0) = 9

Passo 11

Finalmente, multiplicamos pelo fator raiz14:
M = raiz14 times 9 = 9raiz14

Resposta

A massa da superfície L é 9raiz14 unidades de massa.

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