Seja F(x, y)=(2 x y+sen y, x^2+x+x cos y). Denote A=(0,3), B= (3,3), C=(3,0) e D=(0,0). Se gamma é a curva determinada pela união dos segmentos de reta A B, B C e C D, com esta direção, calcule
integralgamma F cdot d r
Dica: Utilize o Teorema de Green.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial $ F(x, y) = \left(2xy + \sin y, x^{2} + x + x \cos y\right) $ e uma curva F(x, y) = (2xy + sin y, x^2 + x + x cos y) formada pelos segmentos de reta gamma, AB e BC, onde:
  • CD
  • A = (0, 3)
  • B = (3, 3)
  • C = (3, 0)
A gente precisa calcular a integral de linha D = (0, 0). Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre uma região fechada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada gamma que delimita uma região R, temos:
ointgamma F cdot dr = integral duplaR ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Onde F = (P, Q). No nosso caso, P = 2xy + sin y e Q = x^2 + x + x cos y.

Passo 3

Vamos verificar se a curva gamma é fechada. A curva gamma vai de A para B, depois para C e depois para D. Para fechar, precisaríamos voltar de D para A, formando um caminho fechado. Então, para aplicar o Teorema de Green, vamos considerar o caminho fechado ABCD e então usar o teorema para calcular a integral.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais que aparecem no Teorema de Green:
partial Qpartial x = partialpartial x(x^2 + x + x cos y) = 2x + 1 + cos y
partial Ppartial y = partialpartial y(2xy + sin y) = 2x + cos y

Passo 5

Subtraindo as derivadas, temos:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = (2x + 1 + cos y) - (2x + cos y) = 1
Isso simplifica bastante a integral dupla!

Passo 6

Com a expressão simplificada, a integral dupla fica:
integral duplaR 1 , dx , dy
Essa integral representa a área da região R delimitada pela curva gamma.

Passo 7

A região R é um retângulo com vértices em (0,0), (3,0), (3,3) e (0,3). A área desse retângulo é:
Área = base times aÁ

Passo 8

Portanto, a integral dupla é igual a 9. Assim, aplicando o Teorema de Green, temos:
ointgamma F cdot dr = 9

Resposta

A integral integralgamma F cdot dr é igual a 9.

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