Seja
. Denote
e
. Se
é a curva determinada pela união dos segmentos de reta
e
, com esta direção, calcule
Dica: Utilize o Teorema de Green.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial $ F(x, y) = \left(2xy + \sin y, x^{2} + x + x \cos y\right) $ e uma curva
formada pelos segmentos de reta
,
e
, onde:
A gente precisa calcular a integral de linha
. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre uma região fechada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada
que delimita uma região
, temos:
Onde
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos verificar se a curva
é fechada. A curva
vai de
para
, depois para
e depois para
. Para fechar, precisaríamos voltar de
para
, formando um caminho fechado. Então, para aplicar o Teorema de Green, vamos considerar o caminho fechado
e então usar o teorema para calcular a integral.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais que aparecem no Teorema de Green:
Passo 5
Subtraindo as derivadas, temos:
Isso simplifica bastante a integral dupla!
Passo 6
Com a expressão simplificada, a integral dupla fica:
Essa integral representa a área da região
delimitada pela curva
.
Passo 7
A região
é um retângulo com vértices em
,
,
e
. A área desse retângulo é:
Passo 8
Portanto, a integral dupla é igual a 9. Assim, aplicando o Teorema de Green, temos:
Resposta
A integral
é igual a
.