Uma partícula se move ao longo da curva dada por
Calcule a distância percorrida pela partícula entre os tempos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move ao longo de uma curva definida pela função vetorial
para
. O que a gente precisa descobrir é a distância que essa partícula percorre entre o tempo
e
. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a encontrar a distância percorrida por objetos em movimento ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o comprimento de arco de uma curva dada por
, precisamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Isso nos dá o vetor velocidade da partícula.
Vamos calcular
:
Derivando cada componente em relação a
:
Passo 3
Agora que temos
, precisamos encontrar a magnitude desse vetor, que representa a velocidade escalar da partícula. A magnitude de
, denotada por
, é dada pela fórmula:
Vamos simplificar essa expressão:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Com a magnitude da velocidade
, podemos agora calcular o comprimento do arco, que é a distância percorrida pela partícula entre
e
. A fórmula do comprimento de arco é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Vamos resolver essa integral. Como
é uma constante, ela pode ser tirada da integral:
Resposta
A distância percorrida pela partícula entre
e
é
.