Uma partícula se move ao longo da curva dada por
sigma(t)=(1-cos t, 2 t, sen t), t >= 0
Calcule a distância percorrida pela partícula entre os tempos t=0 e t=2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move ao longo de uma curva definida pela função vetorial sigma(t) = (1 - cos t, 2t, sin t) para t >= 0. O que a gente precisa descobrir é a distância que essa partícula percorre entre o tempo t = 0 e t = 2pi. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a encontrar a distância percorrida por objetos em movimento ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o comprimento de arco de uma curva dada por sigma(t) = (x(t), y(t), z(t)), precisamos calcular a derivada de sigma(t) em relação a t, ou seja, sigma'(t). Isso nos dá o vetor velocidade da partícula.
Vamos calcular sigma'(t):
sigma(t) = (1 - cos t, 2t, sin t)
Derivando cada componente em relação a t:
sigma'(t) = ( ddt(1 - cos t), ddt(2t), ddt(sin t) ) = (sin t, 2, cos t)

Passo 3

Agora que temos sigma'(t) = (sin t, 2, cos t), precisamos encontrar a magnitude desse vetor, que representa a velocidade escalar da partícula. A magnitude de sigma'(t), denotada por |sigma'(t)|, é dada pela fórmula:
|sigma'(t)| = raiz(sin t)^2 + (2)^2 + (cos t)^2
Vamos simplificar essa expressão:
|sigma'(t)| = raizsin^2 t + 4 + cos^2 t
Sabemos que sin^2 t + cos^2 t = 1, então:
|sigma'(t)| = raiz1 + 4 = raiz5

Passo 4

Com a magnitude da velocidade |sigma'(t)| = raiz5, podemos agora calcular o comprimento do arco, que é a distância percorrida pela partícula entre t = 0 e t = 2pi. A fórmula do comprimento de arco é:
S = integrala^b |sigma'(t)| , dt
Substituindo os valores que temos:
S = integral0^2pi raiz5 , dt

Passo 5

Vamos resolver essa integral. Como raiz5 é uma constante, ela pode ser tirada da integral:
S = raiz5 integral0^2pi dt = raiz5 cdot (2pi - 0) = 2pi raiz5

Resposta

A distância percorrida pela partícula entre t = 0 e t = 2pi é 2pi raiz5.

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