Seja M a superfície parametrizada por
varphi(t, theta)=(t cos theta, t sen theta, t)
com t in[1,4] e theta in[0,2 pi]. Calcule a área de M.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da superfície $ M $ que é parametrizada pela função
M
com $ t $ variando de 1 a 4 e $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o cálculo de áreas de superfícies parametrizadas. Para isso, precisamos encontrar as derivadas parciais da parametrização, calcular o produto vetorial dessas derivadas e, por fim, integrar o resultado sobre os intervalos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função $ \varphi(t, \theta) $ em relação a $ t $ e a $ \theta $.
Derivada parcial em relação a $ t $:
varphi(t, theta)
Derivada parcial em relação a $ \theta $:
t

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas parciais, $ \varphi_t \times \varphi_\theta $. O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular à superfície, e sua magnitude está relacionada à área.
varphit times varphitheta
Calculando o determinante:
varphit times varphitheta = i & j & k cos theta & sin theta & 1 -t sin theta & t cos theta & 0
i( sin theta cdot 0 - 1 cdot t cos theta ) - j( cos theta cdot 0 - 1 cdot (-t sin theta) ) + k( cos theta cdot t cos theta - sin theta cdot (-t sin theta) )
= i( - t cos theta ) - j( t sin theta ) + k( t cos^2 theta + t sin^2 theta )
Sabemos que $ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $, então:
= (-t cos theta)i - (t sin theta)j + t (cos^2 theta + sin^2 theta)k

Passo 4

Vamos calcular a magnitude desse vetor, que é essencial para encontrar a área.
| varphit times varphitheta | = raiz (-t cos theta)^2 + (-t sin theta)^2 + (t)^2
= raiz t^2 cos^2 theta + t^2 sin^2 theta + t^2
= raiz t^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) + t^2
= raiz t^2 (1) + t^2 = raiz2 t^2 = t raiz2

Passo 5

Agora, vamos montar a integral dupla que representa a área da superfície $ M $:
M
Onde $ D $ é o domínio $ t \in [1,4] $ e $ \theta \in [0, 2\pi] $, e já sabemos que $ | \varphi_t \times \varphi_\theta | = t \sqrt{2} $.

Passo 6

Vamos integrar em relação a $ \theta $ primeiro e depois em relação a $ t $:
theta
Como $ t \sqrt{2} $ não depende de $ \theta $, a integral interna é:
t
Agora, integramos em relação a $ t $:
A = integralt=1^4 integraltheta=0^2pi t raiz2 , dtheta , dt
t raiz2

Resposta

A área da superfície $ M $ é $ 15 \pi \sqrt{2} $.

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