Seja
a superfície parametrizada por
com
e
. Calcule a área de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da superfície $ M $ que é parametrizada pela função
com $ t $ variando de 1 a 4 e $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o cálculo de áreas de superfícies parametrizadas. Para isso, precisamos encontrar as derivadas parciais da parametrização, calcular o produto vetorial dessas derivadas e, por fim, integrar o resultado sobre os intervalos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função $ \varphi(t, \theta) $ em relação a $ t $ e a $ \theta $.
Derivada parcial em relação a $ t $:
Derivada parcial em relação a $ \theta $:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas parciais, $ \varphi_t \times \varphi_\theta $. O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular à superfície, e sua magnitude está relacionada à área.
Calculando o determinante:
Sabemos que $ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $, então:
Passo 4
Vamos calcular a magnitude desse vetor, que é essencial para encontrar a área.
Passo 5
Agora, vamos montar a integral dupla que representa a área da superfície $ M $:
Onde $ D $ é o domínio $ t \in [1,4] $ e $ \theta \in [0, 2\pi] $, e já sabemos que $ | \varphi_t \times \varphi_\theta | = t \sqrt{2} $.
Passo 6
Vamos integrar em relação a $ \theta $ primeiro e depois em relação a $ t $:
Como $ t \sqrt{2} $ não depende de $ \theta $, a integral interna é:
Agora, integramos em relação a $ t $:
Resposta
A área da superfície $ M $ é $ 15 \pi \sqrt{2} $.