Seja
a superfície exterior do paralelepípedo delimitado pelos planos coordenados e pelos planos
e
sem a face inferior. Calcule o fluxo do campo vetorial
através de
, tomando
orientada com o campo normal apontado para fora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um paralelepípedo definido pelos planos coordenados e pelos planos
,
e
, mas sem a face de baixo. O que queremos é calcular o fluxo do campo vetorial
através dessa superfície
, com as normais apontando para fora. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo vetorial dentro do volume delimitado por essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que o fluxo do campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
limitado por
. Matematicamente, isso é expresso como:
Onde
é a divergência de
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume
. Sabemos que
é o paralelepípedo limitado por
,
e
. Então, a integral tripla fica:
O volume do paralelepípedo é dado por:
Portanto:
Passo 5
Até aqui, usamos o Teorema da Divergência para transformar o cálculo do fluxo em uma integral mais simples. Porém, lembre-se que a superfície
descrita no problema está sem a face inferior. Isso significa que a superfície não está completamente fechada, e portanto, o Teorema da Divergência não se aplica diretamente da forma que fizemos acima.
Para resolver isso, vamos considerar uma superfície fechada
que inclui todas as faces do paralelepípedo, inclusive a face inferior. Calculamos o fluxo através de
usando o Teorema da Divergência e depois subtraímos o fluxo através da face inferior para obter o fluxo através de
.
Passo 6
Sabemos que o fluxo total através de
é 36 (como calculado no Passo 4). Agora, precisamos calcular o fluxo através da face inferior
. A face inferior está no plano
, e o vetor normal aponta para baixo, ou seja, na direção
.
O campo vetorial na face inferior é
. O fluxo através da face inferior é:
A área da face inferior é:
Portanto, o fluxo através da face inferior é:
Passo 7
Agora, para encontrar o fluxo através da superfície
sem a face inferior, subtraímos o fluxo da face inferior do fluxo total:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície
é 39.