Seja S a superfície exterior do paralelepípedo delimitado pelos planos coordenados e pelos planos x=3, y=1 e z=3 sem a face inferior. Calcule o fluxo do campo vetorial F(x, y, z)=(2 x, 2 y, 1) através de S, tomando S orientada com o campo normal apontado para fora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um paralelepípedo definido pelos planos coordenados e pelos planos x = 3, y = 1 e z = 3, mas sem a face de baixo. O que queremos é calcular o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (2x, 2y, 1) através dessa superfície S, com as normais apontando para fora. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo vetorial dentro do volume delimitado por essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que o fluxo do campo vetorial F através de uma superfície fechada S é igual à integral tripla da divergência de F sobre o volume V limitado por S. Matematicamente, isso é expresso como:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Onde nabla cdot F é a divergência de F.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
No nosso caso, F(x, y, z) = (2x, 2y, 1), então:
nabla cdot F = partial (2x)partial x + partial (2y)partial y + partial (1)partial z = 2 + 2 + 0 = 4

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume V. Sabemos que V é o paralelepípedo limitado por 0 <= x <= 3, 0 <= y <= 1 e 0 <= z <= 3. Então, a integral tripla fica:
integral triplaV 4 , dV = 4 times (Volume do para<=<=pípedo) í
O volume do paralelepípedo é dado por:
V = comprimento times largura times a
Portanto:
integral triplaV 4 , dV = 4 times 9 = 36

Passo 5

Até aqui, usamos o Teorema da Divergência para transformar o cálculo do fluxo em uma integral mais simples. Porém, lembre-se que a superfície S descrita no problema está sem a face inferior. Isso significa que a superfície não está completamente fechada, e portanto, o Teorema da Divergência não se aplica diretamente da forma que fizemos acima.
Para resolver isso, vamos considerar uma superfície fechada S' que inclui todas as faces do paralelepípedo, inclusive a face inferior. Calculamos o fluxo através de S' usando o Teorema da Divergência e depois subtraímos o fluxo através da face inferior para obter o fluxo através de S.

Passo 6

Sabemos que o fluxo total através de S' é 36 (como calculado no Passo 4). Agora, precisamos calcular o fluxo através da face inferior Sinferior. A face inferior está no plano z = 0, e o vetor normal aponta para baixo, ou seja, na direção (0, 0, -1).
O campo vetorial na face inferior é F(x, y, 0) = (2x, 2y, 1). O fluxo através da face inferior é:
integral duplaSinferior F cdot n , dS = integral duplaSinferior (2x, 2y, 1) cdot (0, 0, -1) , dS = integral duplaSinferior -1 , dS
A área da face inferior é:
A = 3 times 1 = 3
Portanto, o fluxo através da face inferior é:
integral duplaSinferior -1 , dS = -3

Passo 7

Agora, para encontrar o fluxo através da superfície S sem a face inferior, subtraímos o fluxo da face inferior do fluxo total:
Fluxo em S = Fluxo em S' - Fluxo em Sinferior = 36 - (-3) = 36 + 3 = 39

Resposta

O fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (2x, 2y, 1) através da superfície S é 39.

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