Beleza, vamos lá! A questão pede para achar a equação da reta tangente à trajetória de uma partícula num ponto específico, que é . Estamos lidando com cálculo vetorial, onde vamos usar derivadas para encontrar a direção da reta tangente. Precisamos entender a curva parametrizada e descobrir em que momento a partícula está nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir para qual valor de a partícula está no ponto . Isso significa que:
Resolvendo a segunda equação, temos:
Vamos verificar se esse satisfaz as outras equações:
✅
✅
Então, é o valor que corresponde ao ponto dado.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função , que nos dá o vetor velocidade da partícula, ou seja, a direção da reta tangente. Vamos derivar cada componente de :
Derivando cada componente em relação a :
Passo 4
Vamos avaliar a derivada no valor :
Esse vetor é a direção da reta tangente no ponto .
Passo 5
Com o ponto e o vetor de direção , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A forma geral da reta é:
Onde (x0, y0, z0) é o ponto na reta e (a, b, c) é o vetor de direção, e s é o parâmetro.
Substituindo os valores:
x = 0 + 0 cdot s y = 4pi + 2 cdot s z = 0 + 1 cdot s
Resposta
A equação da reta tangente à trajetória no ponto (0, 4pi, 0) é: