Uma partícula se move ao longo da curva dada por
sigma(t)=(1-cos t, 2 t, sen t), t >= 0
Dê uma equação da reta tangente à trajetória em (0,4 pi, 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para achar a equação da reta tangente à trajetória de uma partícula num ponto específico, que é (0, 4pi, 0). Estamos lidando com cálculo vetorial, onde vamos usar derivadas para encontrar a direção da reta tangente. Precisamos entender a curva parametrizada sigma(t) = (1 - cos t, 2t, sin t) e descobrir em que momento t a partícula está nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir para qual valor de t a partícula está no ponto (0, 4pi, 0). Isso significa que:
1 - cos t = 0 2t = 4pi sin t = 0
Resolvendo a segunda equação, temos:
2t = 4pi implies t = 2pi
Vamos verificar se esse t satisfaz as outras equações:
  • 1 - cos(2pi) = 1 - 1 = 0
  • sin(2pi) = 0
Então, t = 2pi é o valor que corresponde ao ponto dado.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função sigma(t), que nos dá o vetor velocidade da partícula, ou seja, a direção da reta tangente. Vamos derivar cada componente de sigma(t):
sigma(t) = (1 - cos t, , 2t, , sin t)
Derivando cada componente em relação a t:
sigma'(t) = (ddt(1 - cos t), , ddt(2t), , ddt(sin t)) = (sin t, , 2, , cos t)

Passo 4

Vamos avaliar a derivada sigma'(t) no valor t = 2pi:
sigma'(2pi) = (sin(2pi), , 2, , cos(2pi)) = (0, , 2, , 1)
Esse vetor (0, 2, 1) é a direção da reta tangente no ponto (0, 4pi, 0).

Passo 5

Com o ponto (0, 4pi, 0) e o vetor de direção (0, 2, 1), podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A forma geral da reta é:
x = x0 + a cdot s y = y0 + b cdot s z = z0 + c cdot s
Onde (x0, y0, z0) é o ponto na reta e (a, b, c) é o vetor de direção, e s é o parâmetro.
Substituindo os valores:
x = 0 + 0 cdot s y = 4pi + 2 cdot s z = 0 + 1 cdot s

Resposta

A equação da reta tangente à trajetória no ponto (0, 4pi, 0) é:
x = 0 y = 4pi + 2s z = s , s in R

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