Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por
Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo
.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
com
, e pede o comprimento de arco (espaço percorrido) entre
e
. Vamos usar a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica no plano:
Passo 2
Calculamos a derivada componente a componente. Se
gamma(t) = l(x(t),y(t)r) com
então
Passo 3
O módulo do vetor derivada é
Usando a identidade trigonométrica
,1-cos t = 2sin^2(t/2) , segue
já que em
0<= t<=2pi temos
sin(t/2)>=0 .
Passo 4
Agora integramos de
t1 a
t2 :
Fazendo a substituição
u = t/2 (logo
dt=2,du ),
Reordenando,