Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por
gamma(t)=(t-sin t, 1-cos t), 0 <= t <= 2 pi
Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo [t1, t2].

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
gamma(t) = l(t - sin t,;1 - cos tr),
com 0 <= t <= 2pi, e pede o comprimento de arco (espaço percorrido) entre t1 e t2. Vamos usar a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica no plano:
s = integralt1^t2 llVert gamma'(t)rrVert ,dt

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente. Se
gamma(t) = l(x(t),y(t)r) com
x(t) = t - sin t, y(t)=1-cos t,
então
x'(t) = 1 - cos t, y'(t)=sin t

Passo 3

O módulo do vetor derivada é
llVert gamma'(t)rrVert = raizl(1-cos tr)^2 + l(sin tr)^2 = raiz2 - 2cos t
Usando a identidade trigonométrica
,1-cos t = 2sin^2(t/2), segue
llVert gamma'(t)rrVert = raiz2cdot 2sin^2!l(tfrac t2r) = 2sin!l(tfrac t2r),
já que em 0<= t<=2pi temos sin(t/2)>=0.

Passo 4

Agora integramos de t1 a t2:
s = integralt1^t2 2sin!l(tfrac t2r),dt
Fazendo a substituição u = t/2 (logo dt=2,du),
s = integralu1^u2 2sin(u)cdot 2,du =4integralu1^u2sin(u),du =-4l[cos(u)r]u1^u2 =-4l(cos(tfract22)-cos(tfract12)r)
Reordenando,
s = 4l(cos(tfract12) - cos(tfract22)r)

Resposta

boxed,s(t1,t2) =4l(cos(tfract12)-cos(tfract22)r)

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