Verifique que o vetor Xp é uma solução particular do sistema dado.
X^prime=(ccc1 & 2 & 3 -4 & 2 & 0 -6 & 1 & 0) X+(c-1 4 3) sin (3 t) ; Xp=(csin (3 t) 0 cos (3 t))

Passo 1

O enunciado dá o sistema
vec X' = A,vec X + vec b,sin(3t), A = 1 & 2 & 3 -4 & 2 & 0 -6 & 1 & 0, vec b = -1 4 3,
e propõe a solução particular
vec Xp(t) = sin(3t) 0 cos(3t)
Para verificar que é solução particular, basta checar que
vec Xp' = A,vec Xp + vec b,sin(3t)

Passo 2

Calculemos a derivada de Xp componente a componente:
Xp'(t) = ddtsin(3t) ddt0 ddtcos(3t) = 3cos(3t) 0 -3sin(3t)

Passo 3

Agora calculemos A,vec Xp e somemos vec b,sin(3t):
A,vec Xp = 1 & 2 & 3 -4 & 2 & 0 -6 & 1 & 0 sin(3t)0cos(3t) = sin(3t)+3cos(3t) -4sin(3t) -6sin(3t) ,
vec b,sin(3t) = -143sin(3t) = -sin(3t) 4sin(3t) 3sin(3t)
Somando,
A,vec Xp + vec b,sin(3t) = sin+3cos - sin -4sin+4sin -6sin+3sin = 3cos(3t) 0 -3sin(3t)

Passo 4

Notamos que
vec Xp'(t) = 3cos(3t)0-3sin(3t) = A,vec Xp + vec b,sin(3t)
Logo vec Xp satisfaz o sistema não-homogêneo e é de fato uma solução particular.

Resposta

Verificamos por substituição direta que vec Xp(t) satisfaz
vec Xp' = A,vec Xp + vec b,sin(3t),
portanto vec Xp é solução particular do sistema.

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