Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por
sigma(t)=(t-sin (t), 1-cos (t)), 0 <= t <= 2 pi
a) Determine os instantes t0, t1 in[0,2 pi] onde v(t)=1.
b) Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo [t0, t1].

Passo 1

O enunciado dá a trajetória de uma partícula em R^2 por
sigma(t) = l(t - sin(t),,1 - cos(t)r), 0 <= t <= 2pi
Pede em (a) os instantes t0,t1 tais que a velocidade escalar v(t)=1 e em (b) o espaço percorrido entre esses instantes. Para isso vamos usar que
  1. A velocidade vetorial é sigma'(t) e a velocidade escalar é v(t)=l|sigma'(t)r|.
  2. O espaço (comprimento de arco) de t0 a t1 é
S=integralt0^t1v(t),dt

Passo 2

Calculamos sigma'(t):
sigma'(t) = l(1-cos t,;sin tr)
Logo
v(t)=|sigma'(t)| =raiz(1-cos t)^2+(sin t)^2 =raiz2-2cos t =2l|sintfrac t2r|
Queremos v(t)=1, ou seja
2l|sintfrac t2r|=1 Longrightarrow l|sintfrac t2r|=tfrac12
Em tin[0,2pi] temos sintfrac t2>=0, então
sintfrac t2=tfrac12 leva a
tfrac t2=tfracpi6outfrac t2=tfrac5pi6 Longrightarrow t=tfracpi3ou t=tfrac5pi3
Portanto t0=tfracpi3 e t1=tfrac5pi3.

Passo 3

O espaço percorrido de t0 a t1 é
S=integralt0^t1v(t),dt =integralpi/3^5pi/32sin!l(tfrac t2r),dt,
já que sin(t/2)>=0 nesse intervalo. Fazendo a substituição u=tfrac t2, dt=2,du, obtemos
S =2integralpi/3^5pi/3sin!l(tfrac t2r),dt =4integralpi/6^5pi/6sin u,du =-4l[cos ur]pi/6^5pi/6 =-4l(cos!tfrac5pi6 - cos!tfracpi6r) =4raiz3

Resposta

(a) t0 = tfracpi3 e t1 = tfrac5pi3.
(b) Espaço percorrido S = 4raiz3.

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