Encontre:
lim x -infty (x+2)^4-(x-1)^4(2 x+3)^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto -infty(x+2)^4 - (x-1)^4(2x+3)^3.
O conteúdo aqui é limite de função racional de polinômios; vamos expandir numerador e denominador e comparar os termos de maior grau.

Passo 2

Expandimos o numerador usando o binômio de Newton:
(x+2)^4 = x^4 + 4cdot2,x^3 + 6cdot2^2,x^2 + 4cdot2^3,x + 2^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16
(x-1)^4 = x^4 + 4cdot(-1),x^3 + 6cdot(-1)^2,x^2 + 4cdot(-1)^3,x + (-1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1
Subtraindo, fica
(x+2)^4 - (x-1)^4 = (x^4+8x^3+24x^2+32x+16) - (x^4-4x^3+6x^2-4x+1) = 12x^3 + 18x^2 + 36x + 15

Passo 3

Agora o denominador:
(2x+3)^3 = (2x)^3 + 3cdot(2x)^2cdot3 + 3cdot2xcdot3^2 + 3^3 = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27

Passo 4

Para xto -infty, os termos de maior grau dominam a razão. No numerador é 12x^3 e no denominador é 8x^3. Logo
limxto -infty12x^3 + dots8x^3 + dots = 128 = 32

Resposta

32

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