Uma partícula move-se ao longo de uma curva com equação do movimento
, onde
é medido em metros e
em segundos. Encontre a velocidade
quando
usando a definição de derivada.
Passo 1
O enunciado pede que se encontre a velocidade
no instante
usando a definição de derivada. Informações fornecidas:
- A função posição é
, com em metros e em segundos. - Queremos
, isto é, a derivada de no ponto , que corresponde à velocidade instantânea nesse instante.
Passo 2
Vamos usar a definição de derivada num ponto. Para uma função
e um ponto
, a derivada em
é dada por
Aqui
é um pequeno incremento no tempo; a expressão dentro do limite é a taxa média de variação de
entre
e
. Tomando o limite quando
obtemos a taxa instantânea (a derivada). Vamos aplicar isso com
.
Passo 3
Calcular primeiro
:
Passo 4
Calcular
. Substituindo
em
:
Passo 5
Montar o quociente de diferença e simplificar passo a passo:
Colocando em uma única fração no numerador:
Desenvolvendo o numerador:
Logo
onde na última igualdade simplificamos
(para
; isso é legítimo porque no limite consideramos
tendendo a zero, não igual a zero).
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
:
Portanto a derivada de
em
é
.
Passo 7
Interpretação:
significa que a velocidade instantânea no instante
é
metros por segundo. O sinal negativo indica que a partícula está se deslocando na direção negativa do eixo posição nesse instante (ou seja, está voltando ou regressando, dependendo do referencial). Vai com calma — essa é a conta direta pela definição de derivada; se quiser eu mostro também como chegar ao mesmo resultado usando regras de derivação (quociente) para praticar.