Uma partícula move-se ao longo de uma curva com equação do movimento S=S(t), onde S é medido em metros e t em segundos. Encontre a velocidade v(t)=S^{\prime}(t) quando t=2 \mathrm{~s} usando a definição de derivada.
S(t)=\frac{t+1}{t-1}

Passo 1

O enunciado pede que se encontre a velocidade v(t)=S'(t) no instante t=2\\ \mathrm{s} usando a definição de derivada. Informações fornecidas:
  • A função posição é S(t)=\dfrac{t+1}{t-1}, com S em metros e t em segundos.
  • Queremos S'(2), isto é, a derivada de S no ponto t=2, que corresponde à velocidade instantânea nesse instante.

Passo 2

Vamos usar a definição de derivada num ponto. Para uma função S e um ponto a, a derivada em a é dada por
S'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{S(a+h)-S(a)}{h}.
Aqui h é um pequeno incremento no tempo; a expressão dentro do limite é a taxa média de variação de S entre a e a+h. Tomando o limite quando h\to0 obtemos a taxa instantânea (a derivada). Vamos aplicar isso com a=2.

Passo 3

Calcular primeiro S(2):
S(2)=\frac{2+1}{2-1}=\frac{3}{1}=3.

Passo 4

Calcular S(2+h). Substituindo t=2+h em S(t):
S(2+h)=\frac{(2+h)+1}{(2+h)-1}=\frac{3+h}{1+h}.

Passo 5

Montar o quociente de diferença e simplificar passo a passo:
\frac{S(2+h)-S(2)}{h}=\frac{\dfrac{3+h}{1+h}-3}{h}.
Colocando em uma única fração no numerador:
\frac{3+h}{1+h}-3=\frac{3+h-3(1+h)}{1+h}.
Desenvolvendo o numerador:
3+h-3(1+h)=3+h-3-3h=(h-3h)=-2h.
Logo
\frac{S(2+h)-S(2)}{h}=\frac{\dfrac{-2h}{1+h}}{h}=\frac{-2h}{h(1+h)}=\frac{-2}{1+h},
onde na última igualdade simplificamos h (para h\neq0; isso é legítimo porque no limite consideramos h tendendo a zero, não igual a zero).

Passo 6

Agora tomamos o limite quando h\to0:
S'(2)=\lim_{h\to0}\frac{-2}{1+h}=\frac{-2}{1+0}=-2.
Portanto a derivada de S em t=2 é -2.

Passo 7

Interpretação: S'(2)=-2 significa que a velocidade instantânea no instante t=2\\ \mathrm{s} é -2 metros por segundo. O sinal negativo indica que a partícula está se deslocando na direção negativa do eixo posição nesse instante (ou seja, está voltando ou regressando, dependendo do referencial). Vai com calma — essa é a conta direta pela definição de derivada; se quiser eu mostro também como chegar ao mesmo resultado usando regras de derivação (quociente) para praticar.

Resposta

-2\\ \mathrm{m/s}

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