Uma partícula move-se ao longo de uma curva com equação do movimento S=S(t), onde S é medido em metros e t em segundos. Encontre a velocidade v(t)=S^{\prime}(t) quando t=2 \mathrm{~s} usando a definição de derivada.
S(t)=t^{-1}-t

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
S(t)=t^{-1}-t.
Pede-se para encontrar a velocidade instantânea v(t)=S'(t) no instante t=2\\ \text{s}, usando a definição de derivada (ou seja, o limite do quociente incremental).

Passo 2

Recordando a definição de derivada (o que vamos usar): a velocidade instantânea é o limite do quociente incremental quando o incremento de tempo tende a zero. Escrevendo isso:
v(t)=S'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{S(t+h)-S(t)}{h},
onde h é um pequeno incremento de tempo. Fisicamente, \dfrac{S(t+h)-S(t)}{h} é a velocidade média entre t e t+h; o limite quando h\to0 dá a velocidade instantânea.

Passo 3

Calcular S(t+h) substituindo t por t+h:
S(t+h)=\frac{1}{t+h}-(t+h).

Passo 4

Formar o quociente incremental \dfrac{S(t+h)-S(t)}{h}:
\frac{S(t+h)-S(t)}{h} = \frac{\left(\dfrac{1}{t+h}-(t+h)\right)-\left(\dfrac{1}{t}-t\right)}{h}.

Passo 5

Agrupar termos semelhantes para simplificar. Primeiro separe as partes:
\frac{S(t+h)-S(t)}{h} = \frac{\dfrac{1}{t+h}-\dfrac{1}{t}}{h} \;+\; \frac{ - (t+h)+t }{h}.
Calcule cada parcela. Para a diferença de recíprocos:
\dfrac{1}{t+h}-\dfrac{1}{t}=\dfrac{t-(t+h)}{t(t+h)}=\dfrac{-h}{t(t+h)}.
Para a segunda parcela:
\frac{-(t+h)+t}{h}=\frac{-h}{h}=-1.
Portanto o quociente incremental fica
\frac{S(t+h)-S(t)}{h}=\frac{-h}{h}\cdot\frac{1}{t(t+h)}-1 = -\frac{1}{t(t+h)}-1.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando h\to0. Observe que -\dfrac{1}{t(t+h)} é uma função contínua em h para t\neq0, então podemos substituir h=0 diretamente no limite:
v(t)=\lim_{h\to0}\left(-\frac{1}{t(t+h)}-1\right) = -\frac{1}{t^2}-1.
Isso é a expressão geral da velocidade instantânea.

Passo 7

Avaliar em t=2\\ \text{s}. Substituindo t=2 em -\dfrac{1}{t^2}-1:
v(2)=-\frac{1}{2^2}-1=-\frac{1}{4}-1=-\frac{5}{4}.
Em unidade de velocidade (metros por segundo):
v(2)=-\frac{5}{4}\\ \text{m/s}=-1{,}25\\ \text{m/s}.
Interpretação rápida: o sinal negativo indica que, naquele instante, a partícula se desloca no sentido de diminuição de S.

Passo 8

Checagem rápida (opcional): usando regras usuais de derivação, \dfrac{d}{dt}t^{-1}=-t^{-2} e \dfrac{d}{dt}(-t)=-1, então S'(t)=-t^{-2}-1, que coincide com o resultado obtido pela definição.

Resposta

v(2)=-\dfrac{5}{4}\\ \text{m/s}

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