Uma partícula move-se ao longo de uma curva com equação do movimento
, onde
é medido em metros e
em segundos. Encontre a velocidade
quando
usando a definição de derivada.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
Pede-se para encontrar a velocidade instantânea
no instante
, usando a definição de derivada (ou seja, o limite do quociente incremental).
Passo 2
Recordando a definição de derivada (o que vamos usar): a velocidade instantânea é o limite do quociente incremental quando o incremento de tempo tende a zero. Escrevendo isso:
onde
é um pequeno incremento de tempo. Fisicamente,
é a velocidade média entre
e
; o limite quando
dá a velocidade instantânea.
Passo 3
Calcular
substituindo
por
:
Passo 4
Formar o quociente incremental
:
Passo 5
Agrupar termos semelhantes para simplificar. Primeiro separe as partes:
Calcule cada parcela. Para a diferença de recíprocos:
Para a segunda parcela:
Portanto o quociente incremental fica
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
. Observe que
é uma função contínua em
para
, então podemos substituir
diretamente no limite:
Isso é a expressão geral da velocidade instantânea.
Passo 7
Avaliar em
. Substituindo
em
:
Em unidade de velocidade (metros por segundo):
Interpretação rápida: o sinal negativo indica que, naquele instante, a partícula se desloca no sentido de diminuição de
.
Passo 8
Checagem rápida (opcional): usando regras usuais de derivação,
e
, então
, que coincide com o resultado obtido pela definição.