Uma partícula move-se ao longo da direção x sob efeito de uma força F(x)=-k1 x+k2 x^2, onde k1=200 N / m e k2=300 N / m.
Ache as posições de equilíbrio da partícula e discuta sua estabilidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move ao longo da direção $ x $ sob a ação de uma força dada por $ F(x) = -k_{1} x + k_{2} x^{2} $. Os valores de $ k_{1} $ e $ k_{2} $ são 200 N/m e 300 N/m, respectivamente. Nosso objetivo aqui é encontrar as posições de equilíbrio dessa partícula e entender se essas posições são estáveis ou não. Para isso, vamos usar conceitos de força, equilíbrio e estabilidade em física.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma posição de equilíbrio. Uma posição de equilíbrio ocorre quando a força resultante sobre a partícula é zero, ou seja, $ F(x) = 0 $. Então, para encontrar as posições de equilíbrio, precisamos resolver a equação:
F(x) = 0

Passo 3

Vamos substituir os valores de $ k_{1} $ e $ k_{2} $ na equação:
k1

Passo 4

Podemos fatorar $ x $ da equação:
x
Isso nos dá duas soluções:
  1. $ x = 0 $
  2. $ -200 + 300,x = 0 $

Passo 5

Resolvendo a segunda equação para $ x $:
x

Passo 6

Então, as posições de equilíbrio são:
  1. $ x = 0 $ metros
  2. $ x = \frac{2}{3} $ metros

Passo 7

Agora, vamos discutir a estabilidade dessas posições. Para isso, vamos analisar a derivada da força em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dF}{dx} $. Se $ \frac{dF}{dx} > 0 $ na posição de equilíbrio, ela é instável; se $ \frac{dF}{dx} < 0 $, é estável.
Vamos calcular $ \frac{dF}{dx} $:
x

Passo 8

Agora, avaliamos $ \frac{dF}{dx} $ nas posições de equilíbrio:
  1. Para $ x = 0 $:
dFdx á
  1. Para $ x = \frac{2}{3} $:
x = 0 á

Resposta

As posições de equilíbrio da partícula são $ x = 0 $ metros (estável) e $ x = \frac{2}{3} $ metros (instável).

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