Uma partícula move-se ao longo da direção
sob efeito de uma força
, onde
e
.
Ache as posições de equilíbrio da partícula e discuta sua estabilidade.
Ache as posições de equilíbrio da partícula e discuta sua estabilidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move ao longo da direção $ x $ sob a ação de uma força dada por $ F(x) = -k_{1} x + k_{2} x^{2} $. Os valores de $ k_{1} $ e $ k_{2} $ são 200 N/m e 300 N/m, respectivamente. Nosso objetivo aqui é encontrar as posições de equilíbrio dessa partícula e entender se essas posições são estáveis ou não. Para isso, vamos usar conceitos de força, equilíbrio e estabilidade em física.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma posição de equilíbrio. Uma posição de equilíbrio ocorre quando a força resultante sobre a partícula é zero, ou seja, $ F(x) = 0 $. Então, para encontrar as posições de equilíbrio, precisamos resolver a equação:
Passo 3
Vamos substituir os valores de $ k_{1} $ e $ k_{2} $ na equação:
Passo 4
Podemos fatorar $ x $ da equação:
Isso nos dá duas soluções:
- $ x = 0 $
- $ -200 + 300,x = 0 $
Passo 5
Resolvendo a segunda equação para $ x $:
Passo 6
Então, as posições de equilíbrio são:
- $ x = 0 $ metros
- $ x = \frac{2}{3} $ metros
Passo 7
Agora, vamos discutir a estabilidade dessas posições. Para isso, vamos analisar a derivada da força em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dF}{dx} $. Se $ \frac{dF}{dx} > 0 $ na posição de equilíbrio, ela é instável; se $ \frac{dF}{dx} < 0 $, é estável.
Vamos calcular $ \frac{dF}{dx} $:
Passo 8
Agora, avaliamos $ \frac{dF}{dx} $ nas posições de equilíbrio:
- Para $ x = 0 $:
- Para $ x = \frac{2}{3} $:
Resposta
As posições de equilíbrio da partícula são $ x = 0 $ metros (estável) e $ x = \frac{2}{3} $ metros (instável).