2.2 Uma partícula P se move ao longo do eixo x com sua aceleração a no instante t dada por
a=6 t-4 m s^-2
Inicialmente P está no ponto x=20 m e se move com velocidade 15 m s^-1 na direção x negativa. Encontre a velocidade e o deslocamento de P no instante t. Encontre quando P entra em repouso e seu deslocamento neste instante.

Passo 1

O enunciado dá a aceleração de uma partícula ao longo do eixo x por
a(t)=6t-4(m/s^2)
com as condições iniciais
x(0)=20 m e v(0)=-15 m/s (o sinal negativo indica movimento para x negativo).
O conteúdo é cinemática com aceleração variável; vamos integrar para obter velocidade e deslocamento.

Passo 2

Integrando a(t) em relação a t obtemos a velocidade:
v(t)=integral (6t-4),dt=3t^2-4t+C
Como v(0)=-15, temos C=-15 e portanto
v(t)=3t^2-4t-15(m/s)

Passo 3

Integramos v(t) para achar a posição x(t):
x(t)=integral(3t^2-4t-15),dt =t^3-2t^2-15t+D
Como x(0)=20, obtemos D=20. Assim a posição é
x(t)=t^3-2t^2-15t+20(m)
O deslocamento em relação à posição inicial é
s(t)=x(t)-x(0)=t^3-2t^2-15t(m)

Passo 4

Para achar quando a partícula entra em repouso, fazemos v(t)=0:
3t^2-4t-15=0
O discriminante é De<a=(-4)^2-4cdot3cdot(-15)=196, logo
t=4pm146
descartando a raiz negativa, fica
t=3(s)

Passo 5

O deslocamento nesse instante é
s(3)=3^3-2cdot3^2-15cdot3=27-18-45=-36(m)

Resposta

A velocidade é v(t)=3t^2-4t-15 m/s.
O deslocamento (em relação a x(0)) é s(t)=t^3-2t^2-15t m.
A partícula para em t=3 s e o deslocamento nesse instante é -36 m.

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