2.1 Uma partícula P se move ao longo do eixo x com seu deslocamento no instante t dado por x=6 t^2-t^3+1, onde x é medido em metros e t em segundos. Encontre a velocidade e a aceleração de P no instante t. Encontre os instantes em que P está em repouso e encontre sua posição nesses instantes.

Passo 1

O enunciado dá o deslocamento de uma partícula ao longo do eixo x por
x(t)=6t^2-t^3+1,
e pede a velocidade v(t), a aceleração a(t), os instantes em que v(t)=0 (repouso) e as posições nesses instantes. Vamos usar derivadas de polinômios para obter v(t) e a(t).

Passo 2

A velocidade é a derivada de x(t) em relação a t. Aplicando ddt(t^n)=n,t^n-1, temos
v(t)=dxdt=12,t-3,t^2=3,t,(4-t)

Passo 3

A aceleração é a derivada de v(t) em relação a t. Derivando 12t-3t^2, obtemos
a(t)=dvdt=12-6,t=6,(2-t)

Passo 4

Para achar os instantes de repouso, resolvemos v(t)=0:
3,t,(4-t)=0
isso dá as soluções
t=0e t=4 (s)

Passo 5

Substituímos esses valores em x(t) para achar a posição:
x(0)=6cdot0^2-0^3+1=1 (m),
x(4)=6cdot4^2-4^3+1=96-64+1=33 (m)

Resposta

v(t)=3,t,(4-t)
a(t)=6,(2-t)
Instantes de repouso: t=0 s e t=4 s
Posições: x(0)=1 m e x(4)=33 m

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