Uma partícula se move ao longo do eixo x de acordo com x=50 t+10 t^2(x em m, t em s). Obtenha:
(a) A vm durante os 3 primeiros segundos
(b) A velocidade instantânea v em t=3 s
(c) Faça o gráfico x times t e indique como obter vm e v
(d) Faça o gráfico v times t

Passo 1

No enunciado, uma partícula se move segundo x(t)=50t+10t^2 (m versus s). Precisamos usar conceitos de cinemática: velocidade média, velocidade instantânea e gráficos de posição e velocidade.

Passo 2

A velocidade média entre t1=0 e t2=3 s é definida por vm=x(t2)-x(t1)t2-t1. Substituindo: x(3)=50cdot3+10cdot3^2=150+90=240 m e x(0)=0, vem vm=240-03-0=80 m/s.

Passo 3

A velocidade instantânea é a derivada de x(t). Logo,

Passo 4

v(t)=dxdt=50+20t

Passo 5

Em t=3 s temos v(3)=50+20cdot3=110 m/s.

Passo 6

No gráfico xtimes t, a curva é uma parábola x=50t+10t^2. A velocidade média aparece como a inclinação da reta secante que liga (0,0) a (3,240). A velocidade instantânea em t=3 é a inclinação da reta tangente à parábola naquele ponto.

Passo 7

No gráfico vtimes t, traçamos a reta v(t)=50+20t, que intercepta o eixo em 50 m/s e tem coeficiente angular 20 m/s².

Resposta

(a) vm=80 m/s
(b) v(3)=110 m/s
(c) Gráfico de x(t)=50t+10t^2 (parábola); vm é a inclinação da secante entre t=0 e t=3, e v é a inclinação da tangente em t=3.
(d) Gráfico de v(t)=50+20t (reta com intercepto 50 e coeficiente 20).

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