Uma partícula se move ao longo do eixo x. Inicialmente em repouso na origem, ela desloca-se para a direita, atinge sua posição máxima em t=t1, para e retorna, passando pela origem em t=t2. Seu movimento é descrito por:
x(t)=43 t^3-19 t^4
em unidades do Sistema Internacional.
Calcule t1 e a aceleraçāo naquele instante (t1).

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o enunciado pede:
– Uma partícula se move em linha reta com posição dada por
x(t)=43t^3-19t^4
– Ela parte do repouso em , vai até uma posição máxima em (onde para momentaneamente) e depois volta.
Conteúdo da matéria: cinemática unidimensional, derivadas (posição → velocidade → aceleração).
O que vamos precisar:
  1. calcular a velocidade ,
  2. achar fazendo ,
  3. calcular a aceleração e avaliar em .

Passo 2

Primeiro, derivar posição para achar a velocidade.
Regra da potência: se x(t)=43t^3Longrightarrow ddtl(43t^3r) =3cdot43t^2=4t^2, , então x(t)=-19t^4Longrightarrow ddtl(-19t^4r) =4cdotl(-19r)t^3=-49t^3 .
Aplicando em cada termo:
v(t)=dxdt=4t^2-49t^3
Então

Passo 3

Agora, o máximo da posição é quando a velocidade zera.
v(t)=4t^2-49t^3 =t^2l(4-49tr)=0
Temos duas possibilidades:
  1. t1=9 s , mas é o instante inicial.
  2. .
    Logo, o instante que interessa é

Passo 4

Com ddt(4t^2)=8t, ddtl(-tfrac49t^3r) =-49cdot 3,t^2=-129t^2=-43t^2 em mãos, vamos achar a aceleração.
A aceleração é a derivada da velocidade: a(t)=8t-43t^2 .
Usando de novo a regra da potência em :
Então

Passo 5

Basta agora substituir a(9)=8cdot 9 ;-;43cdot 9^2 =72 ;-;43cdot81 =72-4cdot27 =72-108 =-36 m/s^2 s em :

Resposta


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