Questão 20
Um bloco de 2,5 kg preso a uma mola de 1250 N / m, sujeito a uma força dissipativa -b v com b=50 kg / s e a uma força impulsionadora senoidal de frequência omegae=25 rad / s e módulo máximo F0=12 N. Determine (a) a amplitude para o movimento estacionário. Determine (b) a amplitude se o sistema é impulsionado em ressonância.

Passo 1

Vamos paraphrasear rapidinho o que o exercício pede e ver o que cai na prova de física:
– Enunciado em miúdos: temos um bloco de massa A(omega) ;=; F0raizl(k - m,omega^2r)^2 + l(b,omegar)^2 preso a uma mola de constante elástica omegar ;=; raizomega0^2 - l(tfracb2mr)^!2 com omega0 = raiztfrackm . Tem também amortecimento (força com ) e é forçado por uma força senoidal de amplitude e frequência .
– Conteúdo: oscilador harmônico forçado e amortecido. Precisamos da fórmula da amplitude do regime estacionário e da condição de ressonância.
– O que vamos usar:
  1. A expressão geral da amplitude no regime estacionário
  2. A frequência de ressonância no caso amortecido
Depois é só botar os números pra achar (a) amplitude em e (b) amplitude na ressonância.

Passo 2

Teoria do regime estacionário do oscilador amortecido forçado:
A equação de movimento é
m,x'' + b,x' + k,x = F0cos(omega t)
No regime estacionário (depois dos transientes morrerem), a solução tem forma A(omega)=F0raiz(k-momega^2)^2 + (b,omega)^2 . A amplitude vem da fórmula
Isso sai de aplicar fasores ou método dos coeficientes indeterminados, mas o importante é decorar esse resultado.

Passo 3

Parte (a): amplitude para momegae^2 = 2,5 times 25^2 = 2,5times 625 = 1562,5, .
  1. Calcular k - momegae^2 = 1250 - 1562,5 = -312,5 N/m : raiz(-312,5)^2 + (1250)^2 = raiz97656,25 + 1562500 = raiz166; -- ;0156,25 approx 1288,5 A(25) = 121288,5 approx 9,32times 10^-3 m = 9,32 mm
  2. Calcular
  3. Montar o denominador:
  4. Então

Passo 4

Parte (b): amplitude em ressonância.
  1. Primeiro achamos a frequência natural omega0 = raizkm = raiz12502,5 = raiz500 approx 22,36 rad/s : omegar = raizomega0^2 - l(tfracb2mr)^2 = raiz500 - 10^2 = raiz500 -100 = raiz400 = 20 rad/s,
  2. A frequência de ressonância no caso amortecido é A(omegar) = F0b,omegar = 1250times 20 = 121000 = 0,012 m = 12 mm pois .
  3. No pico de ressonância, a amplitude simplifica para

Resposta

(a)
(b) â

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