Um trenó a jato move-se sobre trilhos horizontais retos com uma velocidade
. Um observador parado a uma distância
dos trilhos mede a velocidade angular
como constante. Em que tempo
, aproximadamente, o movimento do trenó a jato torna-se fisicamente impossível?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um trenó a jato se movendo sobre trilhos horizontais retos com uma velocidade
. Um observador que está parado a uma distância
dos trilhos percebe que a velocidade angular
do trenó é constante. A pergunta é: em que tempo
aproximadamente o movimento do trenó se torna fisicamente impossível?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática angular e relacionar a velocidade linear do trenó com a velocidade angular percebida pelo observador. Precisaremos entender como a velocidade do trenó afeta a velocidade angular e determinar em que ponto isso leva a uma situação impossível fisicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar a velocidade linear do trenó
com a velocidade angular
. A velocidade angular é definida como a taxa de variação do ângulo
em relação ao tempo:
Como o observador está a uma distância
dos trilhos, podemos imaginar que o trenó está se movendo em uma trajetória que forma um ângulo
com a linha que liga o observador aos trilhos.
Passo 3
Vamos considerar a posição do trenó no instante
como sendo
no sistema de coordenadas onde o observador está na origem e a distância perpendicular aos trilhos é
. Assim, a posição do trenó em relação ao observador é
.
O ângulo
formado entre a linha de visão do observador e a direção do movimento do trenó é dado por:
Passo 4
Derivando
em relação ao tempo para encontrar a velocidade angular
:
Usando a regra da cadeia, temos:
Passo 5
Sabemos que a velocidade angular
é constante. Portanto, podemos igualar a expressão obtida a
:
Para simplificar, vamos assumir que a velocidade do trenó é constante, ou seja,
. Assim, a equação se simplifica para:
Passo 6
Vamos resolver a equação para encontrar o tempo
em que o movimento se torna fisicamente impossível. Observamos que, à medida que
aumenta, o denominador
também aumenta, fazendo com que
diminua. No entanto, como
é constante, isso implica que a velocidade
deve de alguma forma compensar esse aumento.
Para que o movimento continue sendo possível, a velocidade
não pode crescer indefinidamente, pois isso exigiria uma energia infinita, o que não é fisicamente viável. Portanto, há um tempo crítico
além do qual o trenó não pode se mover mantendo a velocidade angular constante
.
Assumindo uma relação linear entre
e
, podemos estabelecer que o movimento se torna impossível quando a velocidade necessária para manter
constante excede um limite físico, digamos a velocidade máxima
que o trenó pode atingir.
Então,
Resolvendo para
:
Resposta
Portanto, o tempo crítico
onde o movimento do trenó a jato se torna fisicamente impossível é aproximadamente: