Um trenó a jato move-se sobre trilhos horizontais retos com uma velocidade v(t). Um observador parado a uma distância b dos trilhos mede a velocidade angular omega como constante. Em que tempo tc, aproximadamente, o movimento do trenó a jato torna-se fisicamente impossível?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um trenó a jato se movendo sobre trilhos horizontais retos com uma velocidade v(t). Um observador que está parado a uma distância b dos trilhos percebe que a velocidade angular omega do trenó é constante. A pergunta é: em que tempo tc aproximadamente o movimento do trenó se torna fisicamente impossível?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática angular e relacionar a velocidade linear do trenó com a velocidade angular percebida pelo observador. Precisaremos entender como a velocidade do trenó afeta a velocidade angular e determinar em que ponto isso leva a uma situação impossível fisicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a velocidade linear do trenó v(t) com a velocidade angular omega. A velocidade angular é definida como a taxa de variação do ângulo theta em relação ao tempo:
omega = dthetadt
Como o observador está a uma distância b dos trilhos, podemos imaginar que o trenó está se movendo em uma trajetória que forma um ângulo theta com a linha que liga o observador aos trilhos.

Passo 3

Vamos considerar a posição do trenó no instante t como sendo (v(t) cdot t, 0) no sistema de coordenadas onde o observador está na origem e a distância perpendicular aos trilhos é b. Assim, a posição do trenó em relação ao observador é (v(t) cdot t, b).
O ângulo theta formado entre a linha de visão do observador e a direção do movimento do trenó é dado por:
tan(theta) = v(t) cdot tb

Passo 4

Derivando theta em relação ao tempo para encontrar a velocidade angular omega:
omega = dthetadt = ddt ( arctan(v(t) cdot tb) )
Usando a regra da cadeia, temos:
omega = 11 + (v(t) cdot tb)^2 cdot ( v(t) + t cdot dv(t)dtb )

Passo 5

Sabemos que a velocidade angular omega é constante. Portanto, podemos igualar a expressão obtida a omega:
omega = v(t) + t cdot dv(t)dtb (1 + (v(t) cdot tb)^2)
Para simplificar, vamos assumir que a velocidade do trenó é constante, ou seja, dv(t)dt = 0. Assim, a equação se simplifica para:
omega = v(t)b (1 + (v(t) cdot tb)^2)

Passo 6

Vamos resolver a equação para encontrar o tempo tc em que o movimento se torna fisicamente impossível. Observamos que, à medida que t aumenta, o denominador 1 + (v(t) cdot tb)^2 também aumenta, fazendo com que omega diminua. No entanto, como omega é constante, isso implica que a velocidade v(t) deve de alguma forma compensar esse aumento.
Para que o movimento continue sendo possível, a velocidade v(t) não pode crescer indefinidamente, pois isso exigiria uma energia infinita, o que não é fisicamente viável. Portanto, há um tempo crítico tc além do qual o trenó não pode se mover mantendo a velocidade angular constante omega.
Assumindo uma relação linear entre v(t) e t, podemos estabelecer que o movimento se torna impossível quando a velocidade necessária para manter omega constante excede um limite físico, digamos a velocidade máxima vmáxá que o trenó pode atingir.
Então,
v(tc) = b cdot omegaraiz1 - (v(tc)vmáx)^2 á
Resolvendo para tc:
tc = bvmáx cdot raiz1 - (v(tc)vmáx)^2 áá

Resposta

Portanto, o tempo crítico tc onde o movimento do trenó a jato se torna fisicamente impossível é aproximadamente:
tc = bvmáx cdot raiz1 - (v(tc)vmáx)^2 áá

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