Em cada item, determine o máximo e o mínimo absolutos da função
na região
. Sugestão. Parte do trabalho já foi feito nos exercícios P1. e P3.
.
Passo 1
O exercício pede para achar os extremos absolutos da função
na bola
. Isso cai em extre
mos de função em região fechada: a gente verifica pontos críticos no interior (onde o gradiente zera) e depois no contorno (usar multiplicadores de Lagrange).
mos de função em região fechada: a gente verifica pontos críticos no interior (onde o gradiente zera) e depois no contorno (usar multiplicadores de Lagrange).
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
No interior de
Passo 3
Para o contorno usamos Lagrange: definimos
e impor
Isso implica, para cada coordenada, ou
Passo 4
Analisamos os casos:
• Se todas as coordenadas são não-nulas, então e
leva a
. Logo
e
• Se todas as coordenadas são não-nulas, então
• Se apenas uma coordenada é não-nula, digamos
• Se duas não-nulas mas não iguais, o valor cai entre esses dois, ficando menor que
Passo 5
Concluímos que o menor valor é
, ocorrido em
, e o maior valor é
, ocorrido nos vértices do tipo
sujeitos a
.
Resposta
Mínimo absoluto: 0 em (0,0,0). Máximo absoluto: 3\ln5 em pontos com |x|=|y|=|z|=2.