Em cada item, determine o máximo e o mínimo absolutos da função f na região R. Sugestão. Parte do trabalho já foi feito nos exercícios P1. e P3.
f(x, y, z)=ln (x^2+1)+ln (y^2+1)+ln (z^2+1), R=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2+z^2 <= 12.

Passo 1

O exercício pede para achar os extremos absolutos da função f(x,y,z)=ln(x^2+1)+ln(y^2+1)+ln(z^2+1) na bola R:,x^2+y^2+z^2<=12. Isso cai em extre
mos de função em região fechada: a gente verifica pontos críticos no interior (onde o gradiente zera) e depois no contorno (usar multiplicadores de Lagrange).

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
nabla f=l(2xx^2+1,2yy^2+1,2zz^2+1r)
No interior de R impomos nabla f=0, o que obriga x=y=z=0. Avaliando aí dá
f(0,0,0)=3ln(1)=0

Passo 3

Para o contorno usamos Lagrange: definimos h(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-12=0 e impor
nabla f=lambdanabla hLongrightarrow2xx^2+1=2lambda x,;dots
Isso implica, para cada coordenada, ou x=0 ou 1/(x^2+1)=lambda.

Passo 4

Analisamos os casos:
• Se todas as coordenadas são não-nulas, então x^2=y^2=z^2 e 3x^2=12 leva a x^2=4. Logo |x|=|y|=|z|=2 e
f=3ln(2^2+1)=3ln5
• Se apenas uma coordenada é não-nula, digamos x^2=12, dá (f=\ln(13)+0+0=\ln13<3\ln5.]
• Se duas não-nulas mas não iguais, o valor cai entre esses dois, ficando menor que 3ln5.

Passo 5

Concluímos que o menor valor é 0, ocorrido em (0,0,0), e o maior valor é 3ln5, ocorrido nos vértices do tipo (pm2,pm2,pm2) sujeitos a x^2+y^2+z^2=12.

Resposta

Mínimo absoluto: 0 em (0,0,0). Máximo absoluto: 3\ln5 em pontos com |x|=|y|=|z|=2.

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