Resolva as integrais indefinidas:
\int\left(x^{2}+x+1\right) \ln x^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
\int\left(x^{2}+x+1\right)\ln x^{3}\,dx.
Informações dadas e observado:
  • A função a integrar é \left(x^{2}+x+1\right)\ln x^{3}.
  • Como aparece \ln x^{3}, estamos no domínio onde x^{3}>0, ou seja x>0 (isso importa para usar a propriedade do log).
  • Precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja a expressão cujo d/dx é o integrando, e acrescentar a constante de integração C.

Passo 2

Simplificação inicial usando propriedade dos logaritmos. A propriedade é:
\ln(a^{b}) = b\ln a,
válida para a>0. Aplicando com a=x e b=3 (lembrando x>0):
\ln x^{3} = 3\ln x.
Substituindo na integral obtemos
\int\left(x^{2}+x+1\right)\ln x^{3}\,dx = \int\left(x^{2}+x+1\right)\cdot 3\ln x\,dx = 3\int\left(x^{2}+x+1\right)\ln x\,dx.
Então basta calcular
J=\int\left(x^{2}+x+1\right)\ln x\,dx
e depois multiplicar o resultado por 3.

Passo 3

Escolha do método: uso de integração por partes. A fórmula da integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Regra prática para escolher u e dv: escolha u como a parte que fica mais simples ao derivar (aqui \ln x simplifica para 1/x) e dv como a parte fácil de integrar (aqui o polinômio x^{2}+x+1). Essa escolha costuma ser a mais eficiente para produtos polinômio \times log.

Passo 4

Definimos para calcular J:
u=\ln x,\qquad dv=(x^{2}+x+1)\,dx.
Agora computamos du e v:
du=\frac{1}{x}\,dx,
e
v=\int (x^{2}+x+1)\,dx = \int x^{2}\,dx + \int x\,dx + \int 1\,dx.
Integramos termo a termo:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},\qquad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\qquad \int 1\,dx = x.
Portanto
v=\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+x.

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
J = u v - \int v\,du.
Substituindo u,v,du:
J = \left(\ln x\right)\left(\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+x\right) - \int\left(\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+x\right)\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificamos o integrando dentro da segunda integral:
\left(\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+x\right)\cdot\frac{1}{x} = \frac{x^{2}}{3}+\frac{x}{2}+1.
Logo
J = \left(\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+x\right)\ln x - \int\left(\frac{x^{2}}{3}+\frac{x}{2}+1\right)\,dx.

Passo 6

Calculamos a integral polinomial:
\int\left(\frac{x^{2}}{3}+\frac{x}{2}+1\right)\,dx = \frac{1}{3}\int x^{2}\,dx + \frac{1}{2}\int x\,dx + \int 1\,dx.
Integrando termo a termo:
\frac{1}{3}\int x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{9},
\frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{4},
\int 1\,dx = x.
Portanto
\int\left(\frac{x^{2}}{3}+\frac{x}{2}+1\right)\,dx = \frac{x^{3}}{9}+\frac{x^{2}}{4}+x.
Substituindo em J temos
J = \left(\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+x\right)\ln x - \left(\frac{x^{3}}{9}+\frac{x^{2}}{4}+x\right) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à integral original I:
I=\int\left(x^{2}+x+1\right)\ln x^{3}\,dx = 3J.
Não esqueça que J tem a constante de integração; multiplicar por 3 absorve-se em outra constante arbitrária, portanto tomamos uma constante C final. Agora multiplicamos J por 3 e simplificamos os coeficientes para obter a primitiva final (fique tranquilo — eu faço a multiplicação e simplificação para você na resposta).

Resposta

x^{3}\!\left(\ln x-\tfrac{1}{3}\right)+\tfrac{3}{2}x^{2}\!\left(\ln x-\tfrac{1}{2}\right)+3x\!\left(\ln x-1\right)+C

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