Resolva as integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
Informações dadas e observado:
- A função a integrar é
. - Como aparece
, estamos no domínio onde , ou seja (isso importa para usar a propriedade do log). - Precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja a expressão cujo
é o integrando, e acrescentar a constante de integração .
Passo 2
Simplificação inicial usando propriedade dos logaritmos. A propriedade é:
válida para
. Aplicando com
e
(lembrando
):
Substituindo na integral obtemos
Então basta calcular
e depois multiplicar o resultado por
.
Passo 3
Escolha do método: uso de integração por partes. A fórmula da integração por partes é
Regra prática para escolher
e
: escolha
como a parte que fica mais simples ao derivar (aqui
simplifica para
) e
como a parte fácil de integrar (aqui o polinômio
). Essa escolha costuma ser a mais eficiente para produtos polinômio
log.
Passo 4
Definimos para calcular
:
Agora computamos
e
:
e
Integramos termo a termo:
Portanto
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
:
Simplificamos o integrando dentro da segunda integral:
Logo
Passo 6
Calculamos a integral polinomial:
Integrando termo a termo:
Portanto
Substituindo em
temos
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltando à integral original
:
Não esqueça que
tem a constante de integração; multiplicar por
absorve-se em outra constante arbitrária, portanto tomamos uma constante
final. Agora multiplicamos
por
e simplificamos os coeficientes para obter a primitiva final (fique tranquilo — eu faço a multiplicação e simplificação para você na resposta).