1. Uma partícula se move ao longo de uma linha reta. Sua aceleração é dada a=(6 t-24) \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} para t em s . Se em t=0 está 10 m à esquerda da origem e tem uma velocidade de 36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine o deslocamento até t=10 \mathrm{~s}. Calcule a distância percorrida e a velocidade média de percurso neste intervalo de tempo.

Passo 1

O enunciado dá a aceleração de uma partícula ao longo de uma reta
a(t)=6t-24\quad\text{(m/s}^2\text{)},
com as condições iniciais em t=0: posição x(0)=-10 m (10 m à esquerda da origem) e velocidade v(0)=36 m/s.
Precisamos:
  1. Encontrar o deslocamento \Delta x = x(10)-x(0).
  2. Calcular a distância total percorrida no intervalo [0,10].
  3. Determinar a velocidade média de percurso, definida por \bar v=\Delta x/\Delta t.

Passo 2

Integramos a(t) para obter a velocidade v(t).
v(t)=\int a(t)\,dt=\int(6t-24)\,dt=3t^2-24t+C.
Como v(0)=36, temos C=36. Logo
v(t)=3t^2-24t+36.

Passo 3

Agora integramos v(t) para obter a posição x(t):
x(t)=\int v(t)\,dt=\int(3t^2-24t+36)\,dt =t^3-12t^2+36t+D.
Como x(0)=-10, deduzimos D=-10. Assim
x(t)=t^3-12t^2+36t-10.

Passo 4

O deslocamento em t=10 é
\Delta x = x(10)-x(0) =\bigl(10^3-12\cdot10^2+36\cdot10-10\bigr)-(-10) =150-(-10)=160\text{ m}.

Passo 5

Para a distância percorrida, identificamos quando a velocidade muda de sinal:
v(t)=3t^2-24t+36=0 \quad\Longrightarrow\quad t^2-8t+12=0 \quad\Longrightarrow\quad t=2\text{ s ou }t=6\text{ s}.
Calculamos as posições nesses instantes:
x(2)=2^3-12\cdot4+72-10=22,\quad x(6)=6^3-12\cdot36+216-10=-10.
Então os trechos são:
  • de t=0 a t=2: |x(2)-x(0)|=|22-(-10)|=32 m,
  • de t=2 a t=6: |x(6)-x(2)|=|-10-22|=32 m,
  • de t=6 a t=10: |x(10)-x(6)|=|150-(-10)|=160 m.
    Logo a distância total percorrida é
32+32+160=224\text{ m}.

Passo 6

A velocidade média de percurso (deslocamento sobre tempo) em [0,10] é
\bar v=\frac{\Delta x}{10-0}=\frac{160}{10}=16\text{ m/s}.

Resposta

Deslocamento: 160 m
Distância percorrida: 224 m
Velocidade média de percurso: 16 m/s

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