Q1. Uma partícula se move ao longo de uma linha reta de forma que sua velocidade é dada por v= 20 \sin (\omega t) \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}, para t \mathrm{em} \mathrm{s}, sendo \omega=5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Partindo da origem O no instante inicial, determine: (a) a posição e a aceleração no instante t_{1}=(\pi / 5) \mathrm{s}; (b) o deslocamento desde o instante t_{1} até o instante 2 t_{1} \mathrm{e}(\mathbf{c}) a distância percorrida neste intervalo de tempo.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade unidimensional
v(t)=20\sin(\omega t) com \omega=5,rad/s e condição inicial x(0)=0.
Pede-se em t_1=\pi/5,s: (a) posição x e aceleração a; (b) deslocamento de t_1 a 2t_1; (c) distância percorrida no mesmo intervalo.

Passo 2

Para achar a posição integramos a velocidade e, para a aceleração, derivamos v:
x(t)=\int_{0}^{t}20\sin(5t')\,dt' =-\frac{20}{5}\bigl[\cos(5t')\bigr]_{0}^{t} =4\bigl(1-\cos(5t)\bigr),
a(t)=\frac{dv}{dt}=20\cdot5\cos(5t)=100\cos(5t).
Em t_1=\pi/5 temos 5t_1=\pi, logo
x(t_1)=4\bigl(1-\cos\pi\bigr)=4\cdot2=8\text{ m}, \qquad a(t_1)=100\cos\pi=-100\text{ m/s}^2.

Passo 3

O deslocamento de t_1 a 2t_1 é
\Delta x=x(2t_1)-x(t_1) =4\bigl(1-\cos(2\pi)\bigr)-8 =0-8=-8\text{ m}.

Passo 4

No intervalo [\pi/5,2\pi/5] a velocidade é negativa, então a distância percorrida é
\int_{t_1}^{2t_1}\bigl|v(t)\bigr|\,dt =-\int_{t_1}^{2t_1}v(t)\,dt =-\Delta x =8\text{ m}.

Resposta

(a) x(t_1)=8,m e a(t_1)=-100,m/s ^2
(b) \Delta x=-8,m
(c) distância percorrida =8,m

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