Uma roda de massa 200 kg , raio externo R=250 \mathrm{~mm}, centro geométrico em O e centro de massa em G, tem o raio de giração em relação ao centro de massa k_{G}=150 \mathrm{~mm}. Se a roda está com velocidade angular 10 \mathrm{rad} / \mathrm{s} no sentido anti-horário, determine neste instante (a) a sua aceleração angular e (b) a força de atrito, sendo 0,3 e 0,4 os coeficientes de atrito dinâmico e estático, respectivamente, entre a roda e o plano horizontal. Verifique se ocorre escorregamento. Dado a excentricidade O G=e=100 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O problema trata de uma roda de massa m=200\\ \mathrm{kg}, raio externo R=250\\ \mathrm{mm}=0{,}25\\ \mathrm{m}, cujo centro de massa G está deslocado do centro geométrico O por e=100\\ \mathrm{mm}=0{,}1\\ \mathrm{m}. O raio de giração em torno de G é k_G=150\\ \mathrm{mm}=0{,}15\\ \mathrm{m}. A roda gira com velocidade angular inicial \omega=10\\ \mathrm{rad/s} em sentido anti-horário sobre um plano horizontal, com coeficientes de atrito estático \mu_s=0{,}4 e dinâmico \mu_d=0{,}3. Queremos (a) a aceleração angular \alpha neste instante e (b) a força de atrito. Também vamos verificar se ocorre escorregamento.

Passo 2

Para que o centro de massa G descreva um movimento circular de raio e em torno de O com a roda girando em torno de O, é preciso uma força centrípeta
F_c = m\,e\,\omega^2.
Substituindo m=200\\ \mathrm{kg}, e=0{,}1\\ \mathrm{m} e \omega=10\\ \mathrm{rad/s},
F_c = 200\times0{,}1\times(10)^2 = 2000\\ \mathrm{N}.
O limite de atrito estático máximo é
F_{s,\max} = \mu_s\,m\,g = 0{,}4\times200\times9{,}81 \approx 784{,}8\\ \mathrm{N}.
Como F_c>F_{s,\max}, não há como manter G preso sem deslizar; portanto ocorre escorregamento e usamos atrito dinâmico.

Passo 3

No regime de deslizamento, a força de atrito tem módulo
F_f = \mu_d\,m\,g = 0{,}3\times200\times9{,}81 \approx 588{,}6\\ \mathrm{N}.
O sentido de F_f é tal que produz um torque de desaceleração do giro anti-horário.

Passo 4

O torque de atrito em relação a G vale
\tau = F_f \,R.
O momento de inércia em torno de G é
I_G = m\,k_G^2 = 200\times(0{,}15)^2 = 4{,}5\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
Da equação de torques \tau = I_G\,\alpha, temos
\alpha = -\frac{\tau}{I_G} = -\frac{F_f\,R}{I_G} = -\frac{588{,}6\times0{,}25}{4{,}5} \approx -32{,}7\\ \mathrm{rad/s^2}.

Resposta

(a) \displaystyle \alpha\approx -32{,}7\\ \mathrm{rad/s^2} (desaceleração)
(b) \displaystyle F_f\approx588{,}6\\ \mathrm{N}.
Como F_c>F_{s,\max}, confirma-se que ocorre escorregamento.

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