A distribuição de Maxwell-Boltzmann descreve como as velocidades das moléculas em um gás ideal se distribuem em uma determinada temperatura
. Esta distribuição é útil para entender o comportamento microscópico dos gases e é fundamental em física estatística.
Para um gás em equilíbrio térmico, a probabilidade de uma molécula ter uma velocidade
é dada pela função de distribuição de velocidade:
onde:
-
é a massa da molécula,
-
é a constante de Boltzmann,
-
é a temperatura em Kelvin.
Para interpretar essa função, focamos em três velocidades características:
(a) A velocidade mais provável
, onde
é máxima.
(b) A velocidade média
, que é a média ponderada de todas as velocidades.
© A velocidade quadrática média
, que relaciona-se diretamente com a energia cinética média.
Cálculo da Velocidade Mais Provável
A velocidade mais provável
é o valor de
que maximiza
. Para encontrá-la, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Calculando a derivada:
Simplificando:
Cálculo da Velocidade Média
A velocidade média
é dada pela média ponderada da velocidade, usando
:
Substituindo
:
Simplificando a integral e resolvendo-a (um cálculo padrão em física estatística), encontramos:
Cálculo da Velocidade Quadrática Média
A velocidade quadrática média
é definida pela raiz quadrada da média dos quadrados das velocidades:
Substituindo
e resolvendo a integral, obtemos:
Agora que você aprendeu o que é distribuição de velocidades, responda o problema a seguir.
Dado um gás ideal com moléculas de massa
a uma temperatura de
, calcule:
(a) A velocidade mais provável
,
Para um gás em equilíbrio térmico, a probabilidade de uma molécula ter uma velocidade
Para interpretar essa função, focamos em três velocidades características:
(a) A velocidade mais provável
(b) A velocidade média
© A velocidade quadrática média
Dado um gás ideal com moléculas de massa
(a) A velocidade mais provável
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a velocidade mais provável das moléculas de um gás ideal usando a distribuição de Maxwell-Boltzmann. Aqui, a gente precisa calcular a velocidade mais provável $ v_p $ para um gás com massa molecular $ m = 4,65 \times 10^{-26} $ kg e temperatura $ T = 300 $ K. Vamos precisar da constante de Boltzmann $ k $ e da fórmula que relaciona essas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a velocidade mais provável $ v_p $. Ela é dada por:
Aqui:
- $ k $ é a constante de Boltzmann, que vale aproximadamente $ 1,38 \times 10^{-23} , J/K $.
- $ T $ é a temperatura em Kelvin.
- $ m $ é a massa da molécula.
Essa fórmula nos diz a velocidade na qual a maioria das moléculas estão se movendo em um gás ideal na temperatura $ T $.
Passo 3
Vamos agora substituir os valores que temos na fórmula. Primeiro, vamos organizar os dados:
- Constante de Boltzmann: $ k = 1,38 \times 10^{-23} , J/K $
- Temperatura: $ T = 300 , K $
- Massa da molécula: $ m = 4,65 \times 10^{-26} , kg $
Substituindo na equação:
Passo 4
Vamos calcular o que está dentro da raiz primeiro:
Então,
Resposta
A velocidade mais provável $ v_p $ é aproximadamente $ 422 , m/s $.