A distribuição de Maxwell-Boltzmann descreve como as velocidades das moléculas em um gás ideal se distribuem em uma determinada temperatura T. Esta distribuição é útil para entender o comportamento microscópico dos gases e é fundamental em física estatística.
Para um gás em equilíbrio térmico, a probabilidade de uma molécula ter uma velocidade v é dada pela função de distribuição de velocidade:
f(v)=4 pi(m2 pi k T)^3 / 2 v^2 e^-m v^22 k T
onde:
  • m é a massa da molécula,
  • k é a constante de Boltzmann,
  • T é a temperatura em Kelvin.
    Para interpretar essa função, focamos em três velocidades características:
    (a) A velocidade mais provável vp, onde f(v) é máxima.
    (b) A velocidade média barv, que é a média ponderada de todas as velocidades.
    © A velocidade quadrática média vrms, que relaciona-se diretamente com a energia cinética média.

Cálculo da Velocidade Mais Provável

A velocidade mais provável vp é o valor de v que maximiza f(v). Para encontrá-la, derivamos f(v) em relação a v e igualamos a zero:
dd v f(v)=0
Calculando a derivada:
dd v(v^2 e^-m v^22 k T)=2 v e^-m v^22 k T-v^3 mk T e^-m v^22 k T=0
Simplificando:
& 2-m v^2k T=0 & vp=raiz2 k Tm

Cálculo da Velocidade Média

A velocidade média barv é dada pela média ponderada da velocidade, usando f(v) :
barv=integral0^infty v f(v) d v
Substituindo f(v) :
barv=integral0^infty v cdot 4 pi(m2 pi k T)^3 / 2 v^2 e^-m v^22 k T d v
Simplificando a integral e resolvendo-a (um cálculo padrão em física estatística), encontramos:
barv=raiz8 k Tpi m

Cálculo da Velocidade Quadrática Média

A velocidade quadrática média v rms é definida pela raiz quadrada da média dos quadrados das velocidades:
vrms=raizintegral0^infty v^2 f(v) d v
Substituindo f(v) e resolvendo a integral, obtemos:
vrms=raiz3 k Tm
Agora que você aprendeu o que é distribuição de velocidades, responda o problema a seguir.
Dado um gás ideal com moléculas de massa m=4,65 times 10^-26 kg a uma temperatura de T=300 K, calcule:
(a) A velocidade mais provável vp,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a velocidade mais provável das moléculas de um gás ideal usando a distribuição de Maxwell-Boltzmann. Aqui, a gente precisa calcular a velocidade mais provável $ v_p $ para um gás com massa molecular $ m = 4,65 \times 10^{-26} $ kg e temperatura $ T = 300 $ K. Vamos precisar da constante de Boltzmann $ k $ e da fórmula que relaciona essas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a velocidade mais provável $ v_p $. Ela é dada por:
vp
Aqui:
  • $ k $ é a constante de Boltzmann, que vale aproximadamente $ 1,38 \times 10^{-23} , J/K $.
  • $ T $ é a temperatura em Kelvin.
  • $ m $ é a massa da molécula.
Essa fórmula nos diz a velocidade na qual a maioria das moléculas estão se movendo em um gás ideal na temperatura $ T $.

Passo 3

Vamos agora substituir os valores que temos na fórmula. Primeiro, vamos organizar os dados:
  • Constante de Boltzmann: $ k = 1,38 \times 10^{-23} , J/K $
  • Temperatura: $ T = 300 , K $
  • Massa da molécula: $ m = 4,65 \times 10^{-26} , kg $
Substituindo na equação:
k = 1,38 times 10^-23 , J/K

Passo 4

Vamos calcular o que está dentro da raiz primeiro:
2 times 1,38 times 10^-23 times 3004,65 times 10^-26 = 2 times 1,38 times 3004,65 times 10^-2310^-26 = 8284,65 times 10^3 approx 178,0645 times 10^3
Então,
vp = raiz178,0645 times 10^3 = raiz178064,5 approx 421,61 , m/s

Resposta

A velocidade mais provável $ v_p $ é aproximadamente $ 422 , m/s $.

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