Uma partícula move-se ao longo de uma reta com função posição dada por s(t)=t^3-6 t^2+9 t+1, onde t >= 0 é medido em segundos e s(t) em metros.
a) Determine a velocidade e a aceleração da partícula em um instante t.
b) Em que instante(s) a partícula está em repouso?
c) Em que instante(s) a partícula está se movendo na direção positiva? E na direção negativa?
d) Determine a velocidade da partícula quando a aceleração é zero.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma partícula que se move em uma linha reta, e a posição dela em qualquer instante de tempo $ t $ é dada pela função $ s(t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t + 1 $. Nosso objetivo aqui é descobrir a velocidade e a aceleração da partícula nesse instante $ t $, e depois responder algumas perguntas sobre quando ela está em repouso, se movendo para frente ou para trás, e a velocidade quando a aceleração é zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, que nos ajudam a encontrar essas grandezas a partir da função de posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre posição, velocidade e aceleração. A posição $ s(t) $ nos mostra onde a partícula está em determinado tempo. A velocidade $ v(t) $ é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, a derivada da posição em relação ao tempo. Já a aceleração $ a(t) $ é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, que é a derivada da velocidade, ou a segunda derivada da posição.

Passo 3

Vamos calcular a velocidade $ v(t) $. Para isso, derivamos a função de posição $ s(t) $ em relação a $ t $:
v(t)
Derivando termo a termo:
s(t)

Passo 4

Agora, vamos calcular a aceleração $ a(t) $. Para isso, derivamos a função de velocidade $ v(t) $ em relação a $ t $:
a(t)
Derivando termo a termo:
v(t)

Passo 5

Resumindo a parte a), encontramos que:
  • A velocidade da partícula em qualquer instante $ t $ é dada por:
t
  • A aceleração da partícula em qualquer instante $ t $ é dada por:
v(t) = 3t^2 - 12t + 9

Resposta

a) A velocidade da partícula em um instante $ t $ é $ v(t) = 3t^{2} - 12t + 9 $ m/s e a aceleração é $ a(t) = 6t - 12 $ m/s².

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