Seja
.
a) Encontre os intervalos onde
é crescente e decrescente.
b) Encontre os valores de máximo e mínimo locais de
.
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
.
d) Esboce o gráfico de
.
a) Encontre os intervalos onde
b) Encontre os valores de máximo e mínimo locais de
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
d) Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício sobre a função $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1 $. Esse exercício faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre derivadas. A gente vai precisar calcular as derivadas primeira e segunda da função para descobrir onde ela está crescendo ou decrescendo, identificar máximos e mínimos locais, analisar a concavidade e os pontos de inflexão, e por fim, esboçar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os intervalos onde a função $ f $ está crescente ou decrescente. Para isso, precisamos encontrar a derivada primeira $ f’(x) $, que nos indica a taxa de variação da função.
A derivada de $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1 $ é:
Agora, vamos resolver $ f’(x) = 0 $ para encontrar os pontos críticos:
Esses valores dividem a reta real em intervalos. Vamos testar um valor em cada intervalo na derivada para ver se é positivo (crescente) ou negativo (decrescente):
-
Intervalo $ (-\infty, 0) $:
Escolha $ x = -1 $: -
Intervalo $ (0, 2) $:
Escolha $ x = 1 $: -
Intervalo $ (2, +\infty) $:
Escolha $ x = 3 $:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de máximo e mínimo locais da função $ f $. Os pontos críticos onde $ f’(x) = 0 $ são $ x = 0 $ e $ x = 2 $.
Para determinar se são máximos ou mínimos, vamos usar o teste da derivada segunda ou observar a mudança no sinal de $ f’(x) $:
-
Em $ x = 0 $:
Antes de 0, $ f’(x) > 0 $ e depois $ f’(x) < 0 $. Isso indica que a função passa de crescente para decrescente, ou seja, $ x = 0 $ é um máximo local. -
Em $ x = 2 $:
Antes de 2, $ f’(x) < 0 $ e depois $ f’(x) > 0 $. Isso indica que a função passa de decrescente para crescente, ou seja, $ x = 2 $ é um mínimo local.
Vamos calcular os valores de $ f $ nesses pontos:
Passo 4
Agora vamos analisar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar da derivada segunda $ f’’(x) $.
Calculando a derivada segunda:
Vamos encontrar onde $ f’’(x) = 0 $:
Esse ponto divide a reta real em intervalos para analisar a concavidade:
-
Intervalo $ (-\infty, 1) $:
Escolha $ x = 0 $: -
Intervalo $ (1, +\infty) $:
Escolha $ x = 2 $:
Como a concavidade muda em $ x = 1 $, esse é um ponto de inflexão. Vamos calcular o valor de $ f(1) $:
Passo 5
Por último, vamos esboçar o gráfico da função $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1 $ usando as informações que encontramos:
-
Raízes da função: Para encontrar onde $ f(x) = 0 $, resolvemos $ x^{3} - 3x^{2} + 1 = 0 $. Isso pode exigir métodos numéricos ou fatoração, mas para simplificação, podemos notar que $ x = 1 $ é uma raiz:Vamos considerar que as raízes são complexas de resolver manualmente, então vamos focar nos pontos críticos e de inflexão já encontrados.
-
Máximo local: $ (0, 1) $
-
Mínimo local: $ (2, -3) $
-
Ponto de inflexão: $ (1, -1) $
Com isso, podemos desenhar o gráfico passando por esses pontos, lembrando que a função é um polinômio de terceiro grau, então tende a $ +\infty $ quando $ x $ tende a $ +\infty $ e a $ -\infty $ quando $ x $ tende a $ -\infty $.
Resposta
Resumindo:
a) A função $ f $ é crescente nos intervalos $ (-\infty, 0) $ e $ (2, +\infty) $ e decrescente no intervalo $ (0, 2) $.
b) $ f $ possui um máximo local em $ (0, 1) $ e um mínimo local em $ (2, -3) $.
c) A função é côncava para baixo em $ (-\infty, 1) $ e côncava para cima em $ (1, +\infty) $, com ponto de inflexão em $ (1, -1) $.
d) O gráfico da função passa pelos pontos críticos e de inflexão mencionados, exibindo comportamento crescente e decrescente conforme os intervalos determinados, além da mudança de concavidade no ponto de inflexão.