Calcule a área da superfície
.
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície definida por
sobre a região do plano
O conteúdo aqui é aplicar a fórmula de área de superfície de um gráfico
e usar coordenadas polares para descrever a região de projeção no plano
.
Passo 2
Para um gráfico
, a área da superfície sobre uma região
do plano é
Aqui
. Calculamos as derivadas parciais:
Logo
Portanto o integrando é constante:
Passo 3
No plano
, a condição
com
em coordenadas polares
, onde
,
, fica
e o primeiro quadrante corresponde a
. Assim a região de projeção
é
Passo 4
A área projetada é
Usando
, obtemos
Passo 5
Como o integrando na fórmula da área da superfície é
, a área final é