Calcule a área da superfície z=raizx^2+y^2, x^2+y^2 <= 2 x, x >= 0, y >= 0.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície definida por z=raizx^2+y^2 sobre a região do plano
x^2+y^2<=2x, x>=0, y>=0
O conteúdo aqui é aplicar a fórmula de área de superfície de um gráfico z=f(x,y) e usar coordenadas polares para descrever a região de projeção no plano xy.

Passo 2

Para um gráfico z=f(x,y), a área da superfície sobre uma região D do plano é
A=integral duplaDraiz1+fx^2+fy^2,dA
Aqui f(x,y)=raizx^2+y^2. Calculamos as derivadas parciais:
fx=xraizx^2+y^2, fy=yraizx^2+y^2
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1+fx^2+fy^2 =1+x^2x^2+y^2+y^2x^2+y^2 =1+x^2+y^2x^2+y^2 =2
Portanto o integrando é constante:
raiz1+fx^2+fy^2=raiz2

Passo 3

No plano xy, a condição x^2+y^2<=2x com x>=0,y>=0 em coordenadas polares (r,theta), onde x=rcostheta, y=rsintheta, fica
r^2<=2rcostheta Longrightarrow r<=2costheta,
e o primeiro quadrante corresponde a thetain[0,pi/2]. Assim a região de projeção D é
0<= r<=2costheta, 0<=theta<=pi2

Passo 4

A área projetada é
integral duplaDdA =integraltheta=0^pi/2integralr=0^2costhetar,dr,dtheta =integral0^pi/2(2costheta)^22,dtheta =integral0^pi/22cos^2theta,dtheta
Usando integral0^pi/2cos^2theta,dtheta=pi/4, obtemos
integral duplaDdA =2cdotpi4 =pi2

Passo 5

Como o integrando na fórmula da área da superfície é raiz2, a área final é
A =raiz2,integral duplaDdA =raiz2,pi2 =piraiz22

Resposta

piraiz22

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