Uma partícula A move-se ao longo da reta y=D=30 m (ou seja, y é uma constante para essa particula), com uma velocidade constante \vec{v}_{A}(t)=3 \hat{\imath} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Uma segunda partícula B começa a se movimentar no plano x-y, a partir da origem, com velocidade inicial nula e com aceleração constante \vec{a}, tal que |\vec{a}|=a=0,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, no mesmo instante em que a partícula A cruza o eixo y.
a) Qual deve ser o valor do ângulo \theta entre o vetor \vec{a} e o eixo y para que ocorra uma colisão entre A e B ?
b) Para qual instante e em que posição a colisão ocorre?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei todos do enunciado):
  • A partícula A move-se ao longo da reta y=D=30\\ \mathrm{m} (ou seja, y constante igual a 30\\ \mathrm{m}).
  • A velocidade de A é constante \vec{v}_A(t)=3\\ \hat{\imath}\\ \mathrm{m/s}.
  • No instante t=0 a partícula A está cruzando o eixo y (isto é, em x=0 e y=30 nesse instante).
  • A partícula B parte da origem (0,0) no mesmo instante t=0, com velocidade inicial nula e aceleração constante \vec{a} tal que |\vec{a}|=a=0{,}4\\ \mathrm{m/s^2}.
  • O ângulo entre \vec{a} e o eixo y é \theta (pedimos achar \theta).
O enunciado pede:
(a) O valor de \theta para que ocorra colisão entre A e B.
(b) O instante t e a posição onde a colisão ocorre.

Passo 2

Escrevendo as equações de movimento (cinemática) e explicando as variáveis.
Para qualquer partícula com posição inicial \vec{r}_0, velocidade inicial \vec{v}_0 e aceleração constante \vec{a}, a posição em função do tempo é dada por:
\vec{r}(t)=\vec{r}_0+\vec{v}_0 t+\tfrac{1}{2}\vec{a}t^2,
onde \vec{r}(t) é a posição no instante t, \vec{r}_0 é a posição em t=0, \vec{v}_0 é a velocidade em t=0 e \vec{a} é a aceleração constante.
Aplicando isso a cada partícula:
  • Partícula A: em t=0 está em (0,30) e tem velocidade \vec{v}_A=3\hat\imath. Como não há aceleração, sua posição é
\vec{r}_A(t)=\bigl(3t,\;30\bigr).
Aqui x_A(t)=3t e y_A(t)=30.
  • Partícula B: parte da origem com \vec{v}_{0B}=0 e aceleração \vec{a}. Escreve-se a aceleração pelos componentes relativos ao eixo y, já que \theta é o ângulo entre \vec{a} e o eixo y. Tomando \theta medido a partir do eixo y em direção ao eixo x (positivo), os componentes são
a_x = a\sin\theta,\qquad a_y=a\cos\theta.
Explicação rápida: como \theta está medido a partir do eixo y, a componente ao longo de y usa \cos\theta e a de x usa \sin\theta. (Se \theta=0 a aceleração seria puramente em +y.)
Como \vec{v}_{0B}=0 e \vec{r}_{0B}=(0,0), a posição de B é
\vec{r}_B(t)=\Bigl(\tfrac{1}{2}a_x t^2,\;\tfrac{1}{2}a_y t^2\Bigr) =\Bigl(\tfrac{1}{2}a\sin\theta\;t^2,\;\tfrac{1}{2}a\cos\theta\;t^2\Bigr).

Passo 3

Condição de colisão: as posições devem coincidir no mesmo instante t>0. Então impõe-se
x_A(t)=x_B(t),\qquad y_A(t)=y_B(t).
Substituindo as expressões:
3t=\tfrac{1}{2}a\sin\theta\;t^2,
30=\tfrac{1}{2}a\cos\theta\;t^2.
Essas duas equações são as que vamos resolver simultaneamente para achar \theta e t. Observação: t=0 corresponde ao ponto inicial (origem e x=0,y=30), não é colisão (posições diferentes), portanto procuramos t>0.

Passo 4

Usando a equação para a coordenada y para expressar t^2.
Da segunda equação:
30=\tfrac{1}{2}a\cos\theta\;t^2
isola-se t^2:
t^2=\frac{60}{a\cos\theta}.
Aqui a=0{,}4\\ \mathrm{m/s^2}, mas por enquanto mantemos a simbólico para ver a relação.

Passo 5

Usando a equação de x e substituindo t. Primeiro simplifica a equação de x. Como procuramos t>0, podemos dividir a primeira equação por t:
3=\tfrac{1}{2}a\sin\theta\;t.
Agora substitui t=\sqrt{t^2} usando o t^2 da etapa anterior:
3=\tfrac{1}{2}a\sin\theta\;\sqrt{\frac{60}{a\cos\theta}}.
Vou manipular essa expressão com calma. Multiplicando ambos os lados por 2:
6=a\sin\theta\;\sqrt{\frac{60}{a\cos\theta}}.
Agora elevando ao quadrado (para eliminar a raiz) — cuidado: ao elevar ao quadrado preservamos a igualdade porque ambos lados são não-negativos (o lado esquerdo 6 é positivo e a raiz dá não-negativo):
36=a^2\sin^2\theta\;\frac{60}{a\cos\theta}.
Simplifica o fator a:
36=60a\;\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}.
Isolando \dfrac{\sin^2\theta}{\cos\theta}:
\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}=\frac{36}{60a}.
Substitui a=0{,}4:
\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}=\frac{36}{60\cdot 0{,}4}=\frac{36}{24}=1{,}5.

Passo 6

Resolver a equação trigonométrica. Coloco c=\cos\theta (então \sin^2\theta=1-\cos^2\theta=1-c^2). A equação fica:
\frac{1-c^2}{c}=1{,}5.
Multiplicando por c:
1-c^2=1{,}5\,c.
Reorganizando para formar quadrática:
c^2+1{,}5\,c-1=0.
Multiplica por 2 para eliminar o decimal (opcional):
2c^2+3c-2=0.
Resolve-se a quadrática com a fórmula de Bhaskara:
c=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot 2\cdot(-2)}}{2\cdot 2} =\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{4} =\frac{-3\pm5}{4}.
Duas soluções:
c_1=\frac{-3+5}{4}=\frac{2}{4}=0{,}5,\qquad c_2=\frac{-3-5}{4}=-2.
Mas \cos\theta deve estar entre -1 e 1, portanto \cos\theta=-2 é impossível. Logo a solução válida é
\cos\theta=0{,}5.
Daí
\theta=\operatorname{arccos}(0{,}5)=60^\circ.
Comentário prático: isso significa que a aceleração forma 60^\circ com o eixo y, ou seja tem componente em y igual a a\cos60^\circ=0{,}4\cdot 0{,}5=0{,}2\\ \mathrm{m/s^2} e componente em x igual a a\sin60^\circ=0{,}4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=0{,}2\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 7

Com \theta conhecido, encontra-se o instante t da colisão usando a expressão do Passo 4:
t^2=\frac{60}{a\cos\theta}.
Substitui a=0{,}4 e \cos\theta=0{,}5:
t^2=\frac{60}{0{,}4\cdot 0{,}5}=\frac{60}{0{,}2}=300.
Logo
t=\sqrt{300}=10\sqrt{3}\\ \mathrm{s}\approx 17{,}32\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Calcula-se a posição da colisão. Usando a posição de A (mais direta) em x:
x= x_A(t)=3t=3\cdot 10\sqrt{3}=30\sqrt{3}\\ \mathrm{m}\approx 51{,}96\\ \mathrm{m}.
A coordenada y de A é sempre 30\\ \mathrm{m}, então a colisão ocorre em \bigl(30\sqrt{3},\;30\bigr)\\ \mathrm{m}.
Verificação rápida (opcional): usando B,
x_B=\tfrac{1}{2}a\sin\theta\;t^2=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 300 =0{,}2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 300 =30\sqrt{3},
coincide com x_A, confirmação feita.

Resposta

(a) \theta=60^\circ
(b) t=10\sqrt{3}\\ \mathrm{s}\approx 17{,}32\\ \mathrm{s}
\quad posição da colisão: \bigl(30\sqrt{3}\\ \mathrm{m},\;30\\ \mathrm{m}\bigr)\approx(51{,}96\\ \mathrm{m},\;30\\ \mathrm{m})

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