Uma partícula
move-se ao longo da reta
(ou seja,
é uma constante para essa particula), com uma velocidade constante
. Uma segunda partícula
começa a se movimentar no plano
, a partir da origem, com velocidade inicial nula e com aceleração constante
, tal que
, no mesmo instante em que a partícula
cruza o eixo
.
a) Qual deve ser o valor do ângulo
entre o vetor
e o eixo
para que ocorra uma colisão entre
e
?
b) Para qual instante e em que posição a colisão ocorre?
a) Qual deve ser o valor do ângulo
b) Para qual instante e em que posição a colisão ocorre?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei todos do enunciado):
- A partícula
move-se ao longo da reta (ou seja, constante igual a ). - A velocidade de
é constante . - No instante
a partícula está cruzando o eixo (isto é, em e nesse instante). - A partícula
parte da origem no mesmo instante , com velocidade inicial nula e aceleração constante tal que . - O ângulo entre
e o eixo é (pedimos achar ).
O enunciado pede:
(a) O valor de para que ocorra colisão entre
e
.
(b) O instante e a posição onde a colisão ocorre.
(a) O valor de
(b) O instante
Passo 2
Escrevendo as equações de movimento (cinemática) e explicando as variáveis.
Para qualquer partícula com posição inicial
, velocidade inicial
e aceleração constante
, a posição em função do tempo é dada por:
onde
é a posição no instante
,
é a posição em
,
é a velocidade em
e
é a aceleração constante.
Aplicando isso a cada partícula:
- Partícula
: em está em e tem velocidade . Como não há aceleração, sua posição é
Aqui
e
.
- Partícula
: parte da origem com e aceleração . Escreve-se a aceleração pelos componentes relativos ao eixo , já que é o ângulo entre e o eixo . Tomando medido a partir do eixo em direção ao eixo (positivo), os componentes são
Explicação rápida: como
está medido a partir do eixo
, a componente ao longo de
usa
e a de
usa
. (Se
a aceleração seria puramente em
.)
Como
e
, a posição de
é
Passo 3
Condição de colisão: as posições devem coincidir no mesmo instante
. Então impõe-se
Substituindo as expressões:
Essas duas equações são as que vamos resolver simultaneamente para achar
e
. Observação:
corresponde ao ponto inicial (origem e
), não é colisão (posições diferentes), portanto procuramos
.
Passo 4
Usando a equação para a coordenada
para expressar
.
Da segunda equação:
isola-se
:
Aqui
, mas por enquanto mantemos
simbólico para ver a relação.
Passo 5
Usando a equação de
e substituindo
. Primeiro simplifica a equação de
. Como procuramos
, podemos dividir a primeira equação por
:
Agora substitui
usando o
da etapa anterior:
Vou manipular essa expressão com calma. Multiplicando ambos os lados por
:
Agora elevando ao quadrado (para eliminar a raiz) — cuidado: ao elevar ao quadrado preservamos a igualdade porque ambos lados são não-negativos (o lado esquerdo
é positivo e a raiz dá não-negativo):
Simplifica o fator
:
Isolando
:
Substitui
:
Passo 6
Resolver a equação trigonométrica. Coloco
(então
). A equação fica:
Multiplicando por
:
Reorganizando para formar quadrática:
Multiplica por
para eliminar o decimal (opcional):
Resolve-se a quadrática com a fórmula de Bhaskara:
Duas soluções:
Mas
deve estar entre
e
, portanto
é impossível. Logo a solução válida é
Daí
Comentário prático: isso significa que a aceleração forma
com o eixo
, ou seja tem componente em
igual a
e componente em
igual a
.
Passo 7
Com
conhecido, encontra-se o instante
da colisão usando a expressão do Passo 4:
Substitui
e
:
Logo
Passo 8
Calcula-se a posição da colisão. Usando a posição de
(mais direta) em
:
A coordenada
de
é sempre
, então a colisão ocorre em
.
Verificação rápida (opcional): usando
,
coincide com
, confirmação feita.
Resposta
(a)
(b)
posição da colisão: