Uma partícula move-se ao longo de uma trajetória circular tendo raio de 400 mm . Sua posiçāo como uma funçāo do tempo é dada por \theta=\left(2 t^{2}\right) \mathrm{rad}, em que t é dado em segundos. Determine a intensidade da aceleração da partícula quando \theta=30^{\circ}. A partícula parte do repouso quando \theta=0^{\circ}.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula que se move numa trajetória circular de raio 400\\ \mathrm{mm} e cuja posição angular é
\theta(t)=2\,t^{2}\quad(\text{rad}),
com t em segundos. Parte-se do repouso em \theta=0. Queremos a intensidade da aceleração total quando \theta=30^\circ.
Para isso vamos usar:
– Cinemática rotacional: \omega=d\theta/dt e \alpha=d\omega/dt.
– Aceleração tangencial a_{t}=r\,\alpha e centrípeta a_{n}=r\,\omega^{2}.
– Soma vetorial a=\sqrt{a_{t}^{2}+a_{n}^{2}}.

Passo 2

Calculamos primeiro a velocidade angular \omega e a aceleração angular \alpha em função de t:
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}=\frac{d}{dt}(2t^{2})=4t\quad(\text{rad/s}),
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d}{dt}(4t)=4\quad(\text{rad/s}^{2}).

Passo 3

Determinamos o instante t em que \theta=30^\circ=\pi/6 rad:
2\,t^{2}=\frac{\pi}{6} \quad\Longrightarrow\quad t^{2}=\frac{\pi}{12} \quad\Longrightarrow\quad t=\sqrt{\frac{\pi}{12}}.

Passo 4

No instante t=\sqrt{\pi/12} temos
\omega=\;4\,\sqrt{\frac{\pi}{12}} \quad\text{e}\quad \alpha=4.
O raio em metros é
r=400\\ \mathrm{mm}=0{,}4\\ \mathrm{m}.
Logo a aceleração tangencial vale
a_{t}=r\,\alpha=0{,}4\times4=1{,}6\\ \mathrm{m/s}^{2},
e a centrípeta vale
a_{n}=r\,\omega^{2} =0{,}4\;\bigl(4\sqrt{\tfrac{\pi}{12}}\bigr)^{2} =0{,}4\times16\times\frac{\pi}{12} = \frac{0{,}4\times16}{12}\,\pi = \frac{6{,}4}{12}\,\pi =0{,}5333\,\pi\\ \mathrm{m/s}^{2} \approx1{,}675\\ \mathrm{m/s}^{2}.

Passo 5

A intensidade da aceleração total é
a=\sqrt{a_{t}^{2}+a_{n}^{2}} =\sqrt{(1{,}6)^{2}+(1{,}675)^{2}} \approx\sqrt{2{,}56+2{,}806} =\sqrt{5{,}366} \approx2{,}32\\ \mathrm{m/s}^{2}.

Resposta

A intensidade da aceleração da partícula, quando \theta=30^\circ, é aproximadamente 2{,}32\\ \mathrm{m/s}^{2}.

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