(2,0 pontos) Na forma complexa, a equação do oscilador amortecido forçado é dada por
\ddot{z}+\gamma \dot{z}+\omega_{0}^{2} z=\frac{F_{0}}{m} e^{i \omega t} .
Mostre que z(t)=A e^{i \omega t} é solução da equação com A=\frac{F_{0}}{m\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}+i \omega \gamma\right)}.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de um oscilador amortecido forçado, na forma complexa,
\ddot{z} + \gamma \dot{z} + \omega_{0}^{2} z = \frac{F_{0}}{m}\,e^{i\omega t}
e pede para mostrar que a solução particular z(t)=A\,e^{i\omega t} funciona, com
A = \frac{F_{0}}{m\bigl(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}+i\,\omega\,\gamma\bigr)}.
O método é o de assumir uma resposta harmônica no regime estacionário e achar A por substituição direta.

Passo 2

Supondo
z(t)=A\,e^{i\omega t},
calculamos as derivadas:
\dot{z}(t)=i\omega\,A\,e^{i\omega t},
\ddot{z}(t)=(i\omega)^{2}A\,e^{i\omega t}=-\omega^{2}A\,e^{i\omega t}.

Passo 3

Substituindo na equação diferencial:
\underbrace{-\omega^{2}A\,e^{i\omega t}}_{\ddot z} +\gamma\,\underbrace{i\omega A\,e^{i\omega t}}_{\dot z} +\omega_{0}^{2}\underbrace{A\,e^{i\omega t}}_{z} =\frac{F_{0}}{m}\,e^{i\omega t}.
Agrupando A\,e^{i\omega t} no lado esquerdo:
A\Bigl(-\omega^{2}+i\omega\gamma+\omega_{0}^{2}\Bigr)e^{i\omega t} =\frac{F_{0}}{m}\,e^{i\omega t}.

Passo 4

Como e^{i\omega t}\neq 0, podemos cancelar esse fator e obter a equação algébrica para A:
A\bigl(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}+i\omega\gamma\bigr)=\frac{F_{0}}{m}.
Dessa forma, isolamos A:
A=\frac{F_{0}}{m\bigl(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}+i\omega\gamma\bigr)}.

Resposta

z(t)=A\,e^{i\omega t} \quad\text{com}\quad A=\frac{F_{0}}{m\bigl(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}+i\omega\gamma\bigr)}.

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