Uma partícula se move ao longo de uma trajetória curva com uma velocidade dada por v(t)=(3 t^2) i+(4 t) j m / s. No instante t=2 s, determine:
(a) A componente tangencial da aceleração (at).
(b) A componente normal da aceleração (an).
(c) O raio de curvatura ( rho ) da trajetória em t=2 s.

Passo 1

O enunciado pede que, em t=2, s, a gente ache as componentes tangencial at e normal an da aceleração de uma partícula cuja velocidade é
vec v(t) = (3t^2),i + (4t),j(m/s)
e também o raio de curvatura rho. Isso é parte de Cinemática Vetorial (movimento em curva). Vamos precisar de:
vec a = dfracdvec vdt (aceleração vetorial)
at = dfracd|vec v|dt = dfracvec v!cdot!vec a|vec v|
an = raiz|vec a|^2 - at^2
rho = dfrac|vec v|^2an

Passo 2

Primeiro derivamos vec v(t) para achar vec a(t):
vec a(t) = ddtl[(3t^2),i + (4t),jr] = (6t),i + 4,j
No instante t=2:
vec v(2) = 12,i + 8,j, vec a(2) = 12,i + 4,j

Passo 3

Componente tangencial at:
  1. rapidez:
|vec v(2)| = raiz12^2 + 8^2 = raiz208 = 4raiz13
  1. produto escalar:
vec v(2)!cdot!vec a(2) = 12cdot12 + 8cdot4 = 176
  1. então
at = vec v!cdot!vec a|vec v| = 1764raiz13 = 44raiz13 approx 12.19,m/s^2

Passo 4

Componente normal an:
  1. norma de vec a:
|vec a(2)| = raiz12^2 + 4^2 = raiz160 = 4raiz10
an = raiz|vec a|^2 - at^2 = raiz160 - 193613 = raiz14413 = 12raiz13 approx 3.33,m/s^2

Passo 5

Raio de curvatura rho:
rho = |vec v|^2an = 20812/raiz13 = 208,raiz1312 = 52raiz133 approx 62.48,m

Resposta

(a) at = dfrac44raiz13approx12.19 m/s^2
(b) an = dfrac12raiz13approx3.33 m/s^2
(c) rho = dfrac52raiz133approx62.48 m

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