Um corpo percorre uma trajetória retilínea de acordo com a lei x=16 t-6 t^2, onde x é medido em metros e t em segundos.
(a) Determinar a posição do corpo no instante t=1 s.
(b) Em quais instantes o corpo passa pela origem?
(c) Calcular a velocidade média para o intervalo de tempo 0<t<2 s.
(d) Obter a expressão geral da velocidade média para o intervalo t0<t< (t0+De<a t).
(e) Calcular a velocidade instantânea num instante qualquer.
(f) Calcular a velocidade instantânea no instante t=0.
(g) Em quais instantes e posições a velocidade do corpo é nula?
(h) Obter a expressão geral da aceleração média para o intervalo de tempo t0<t<(t0+De<a t).
(i) Obter a expressão geral para a aceleração instantânea num instante qualquer.
(j) Em quais instantes a aceleração instantânea é nula?
(k) Representar, utilizando um só par de eixos, x versus t, v versus t, e a versus t.
(l) Em quais instantes o movimento é acelerado e em quais ele é retardado?

Passo 1

O enunciado diz que um corpo se move segundo a lei
x(t)=16,t-6,t^2,,
com x em metros e t em segundos. A matéria aqui é cinemática unidimensional: posição, velocidade média e instantânea, aceleração média e instantânea. Para resolver, vamos precisar de:
  • Avaliar a função x(t) em instantes dados.
  • Usar a definição de velocidade média vrm med=De<a xDe<a t.
  • Calcular derivadas (regra de potência) para obter v(t)=dx/dt e a(t)=dv/dt.
  • Resolver equações quadráticas para achar instantes em que x=0 ou v=0.
  • Analisar sinais de v e a para determinar aceleração/retardamento.

Passo 2

(a) Posição em t=1,s:
x(1)=16cdot1-6cdot1^2=16-6=10 m
(b) Instantes em que x=0:
16t-6t^2=0;Longrightarrow;2t(8-3t)=0 ;Longrightarrow;t=0;ou;t=83 s

Passo 3

(c) Velocidade média entre t=0 e t=2,s:
vrm med=x(2)-x(0)2-0 =(16cdot2-6cdot2^2)-02 =82=4 m/s
(d) Expressão geral de vrm med entre t0 e t0+De<a t:
vrm med=x(t0+De<a t)-x(t0)De<a t
Substituindo x(t)=16t-6t^2 e simplificando, obtém-se
vrm med=16-12,t0-6,De<a t

Passo 4

(e) Velocidade instantânea:
v(t)=dxdt=16-12t
(f) Em t=0:
v(0)=16-12cdot0=16 m/s

Passo 5

(g) Velocidade nula quando v(t)=0:
16-12t=0;Longrightarrow;t=43 s
Posição nesse instante:
xl(tfrac43r) =16cdot43-6l(43r)^2 =643-6cdot169 =323 m

Passo 6

(h) Aceleração média entre t0 e t0+De<a t:
arm med=v(t0+De<a t)-v(t0)De<a t =(16-12(t0+De<a t))-(16-12t0)De<a t =-12 m/s^2
(i) Aceleração instantânea:
a(t)=dvdt=-12 m/s^2
(j) Como a(t)=-12 é constante e nunca vale zero, não há instante em que a=0.

Passo 7

(k) Gráficos em um só par de eixos:
  • x(t)=16t-6t^2: parábola côncava para baixo.
  • v(t)=16-12t: reta decrescente, cruza t em 4/3,s.
  • a(t)=-12: reta horizontal constante abaixo de zero.
(l) Movimento retardado quando v e a têm sinais opostos: para 0<t<4/3,s, v>0 e a<0 → retardado. Para t>4/3,s, v<0 e a<0 → acelerado.

Resposta

(a) 10,m
(b) t=0 e t=8/3,s
(c) 4,m/s
(d) vrm med=16-12t0-6De<a t
(e) v(t)=16-12t
(f) 16,m/s
(g) t=4/3,s, x=32/3,m
(h) -12,m/s ^2
(i) -12,m/s ^2
(j) nenhum instante
(k) x(t) parábola, v(t) reta decrescente, a(t) reta -12
(l) retardado para t<4/3,s; acelerado para t>4/3,s.

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