Um corpo percorre uma trajetória retilínea de acordo com a lei
, onde
é medido em metros e
em segundos.
(a) Determinar a posição do corpo no instante
.
(b) Em quais instantes o corpo passa pela origem?
(c) Calcular a velocidade média para o intervalo de tempo
.
(d) Obter a expressão geral da velocidade média para o intervalo
.
(e) Calcular a velocidade instantânea num instante qualquer.
(f) Calcular a velocidade instantânea no instante
.
(g) Em quais instantes e posições a velocidade do corpo é nula?
(h) Obter a expressão geral da aceleração média para o intervalo de tempo
.
(i) Obter a expressão geral para a aceleração instantânea num instante qualquer.
(j) Em quais instantes a aceleração instantânea é nula?
(k) Representar, utilizando um só par de eixos,
versus
versus
, e
versus
.
(l) Em quais instantes o movimento é acelerado e em quais ele é retardado?
(a) Determinar a posição do corpo no instante
(b) Em quais instantes o corpo passa pela origem?
(c) Calcular a velocidade média para o intervalo de tempo
(d) Obter a expressão geral da velocidade média para o intervalo
(e) Calcular a velocidade instantânea num instante qualquer.
(f) Calcular a velocidade instantânea no instante
(g) Em quais instantes e posições a velocidade do corpo é nula?
(h) Obter a expressão geral da aceleração média para o intervalo de tempo
(i) Obter a expressão geral para a aceleração instantânea num instante qualquer.
(j) Em quais instantes a aceleração instantânea é nula?
(k) Representar, utilizando um só par de eixos,
(l) Em quais instantes o movimento é acelerado e em quais ele é retardado?
Passo 1
O enunciado diz que um corpo se move segundo a lei
com
em metros e
em segundos. A matéria aqui é cinemática unidimensional: posição, velocidade média e instantânea, aceleração média e instantânea. Para resolver, vamos precisar de:
- Avaliar a função
em instantes dados. - Usar a definição de velocidade média
. - Calcular derivadas (regra de potência) para obter
e . - Resolver equações quadráticas para achar instantes em que
ou . - Analisar sinais de
e para determinar aceleração/retardamento.
Passo 2
(a) Posição em
s:
(b) Instantes em que
:
Passo 3
(c) Velocidade média entre
e
s:
(d) Expressão geral de
entre
e
:
Substituindo
e simplificando, obtém-se
Passo 4
(e) Velocidade instantânea:
(f) Em
:
Passo 5
(g) Velocidade nula quando
:
Posição nesse instante:
Passo 6
(h) Aceleração média entre
e
:
(i) Aceleração instantânea:
(j) Como
é constante e nunca vale zero, não há instante em que
.
Passo 7
(k) Gráficos em um só par de eixos:
-
: parábola côncava para baixo. -
: reta decrescente, cruza em s. -
: reta horizontal constante abaixo de zero.
(l) Movimento retardado quando
e
têm sinais opostos: para
s,
e
→ retardado. Para
s,
e
→ acelerado.
Resposta
(a)
m
(b) e
s
(c) m/s
(d)
(e)
(f) m/s
(g) s,
m
(h) m/s
(i) m/s
(j) nenhum instante
(k) parábola,
reta decrescente,
reta
(l) retardado para s; acelerado para
s.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) nenhum instante
(k)
(l) retardado para