Uma partícula se move ao longo de uma trajetória curva com uma velocidade dada por v(t)=(3 t^2) i+(4 t) j m / s. No instante t=2 s, determine:
O raio de curvatura ( rho ) da trajetória em t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos bater um papo sobre o que o exercício pede. A gente tem uma partícula cuja velocidade é
vec v(t) = (3t^2),hat i + (4t),hat j
e precisa achar o raio de curvatura rho = |vec v|^3|vec v times vec a| da trajetória no instante . O assunto aqui é cinemática vetorial e geometria de curvas:
  • Vamos precisar da aceleração , que é a derivada da velocidade.
  • Depois usamos a fórmula da curvatura e do raio de curvatura .
  • Em trajetórias planas, , então

Passo 2

Primeiro, calculemos a aceleração derivando componente a componente:
vec a(t) = dvec vdt = ddtl(3t^2,hat i + 4t,hat jr) = (6t),hat i + 4,hat j

Passo 3

Agora avalia tudo em vec v(2) = (3cdot2^2),hat i + (4cdot2),hat j = 12,hat i + 8,hat j, :
vec a(2) = (6cdot2),hat i + 4,hat j = 12,hat i + 4,hat j
|vec v(2)| = raiz12^2 + 8^2 = raiz144 + 64 = raiz208 = 4raiz13
O módulo da velocidade é

Passo 4

Na fórmula da curvatura usamos o “produto vetorial” em 2D, que vira escalar:
|vec v times vec a| = |,vx,ay - vy,ax,| = |,12cdot4 - 8cdot12,| = |,48 - 96,| = 48
E então
rho = |vec v|^3|vec v times vec a| = (4raiz13)^348

Passo 5

Bora simplificar (4raiz13)^3 = 4^3;(raiz13)^3 = 64cdot13raiz13 = 832raiz13 :
rho = 832raiz1348 = 52raiz133,m approx 62,5,m
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Resposta

boxedrho = 52raiz133,m approx 62,5 m

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