Uma partícula se move ao longo de uma trajetória curva com uma velocidade dada por v(t)=(3 t^2) i+(4 t) j m / s. No instante t=2 s, determine:
A componente normal da aceleração (an).

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que temos uma partícula se movendo numa curva com velocidade
vec v(t) = l(3t^2r),hatimath ;+;(4t),hatjmath
e pede, no instante , a componente normal da aceleração .
Conteúdo: cinemática vetorial em 2D, decomposição da aceleração em tangencial e normal.
Vamos precisar de:
  1. calcular a aceleração ,
  2. usar a definição .

Passo 2

Primeiro, calculamos a aceleração vetorial:
vec a(t) ;=; ddtl(3t^2r),hatimath ;+;ddt(4t),hatjmath ;=; (6t),hatimath ;+;4,hatjmath
Isso vem da regra básica de derivada: e .

Passo 3

Agora, para achar a componente normal an ;=; |vec vtimes vec a|,|vec v|, , usamos a fórmula
|vec vtimes vec a| = l|vx,ay - vy,axr|
Em 2D, só tem versão “para fora do plano” e seu módulo é
Aqui .

Passo 4

Calculemos o numerador:
vx,ay - vy,ax = (3t^2)cdot4 ;-;(4t)cdot(6t) =12t^2 -24t^2 =-12t^2,
logo |vec v| = raiz(3t^2)^2 + (4t)^2 = raiz9t^4 +16t^2 = t,raiz9t^2+16 .
O denominador é o módulo da velocidade:
an(t) = 12t^2traiz9t^2+16 = 12traiz9t^2+16
Assim,

Passo 5

Basta agora avaliar em an(2) = 12cdot2raiz9cdot2^2+16 = 24raiz36+16 = 24raiz52 = 242raiz13 = 12raiz13 ;m/s^2 :

Resposta

an = 12raiz13;m/s^2

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