Um bloco homogêneo em forma de placa retangular fina possui massa m=4,0 \mathrm{~kg}, largura L=0,60 \mathrm{~m} e altura H=0,40 \mathrm{~m}. O momento de inércia da placa em torno de um eixo perpendicular ao plano da placa e passando pelo centro de massa é:
I_{C M}=\frac{1}{12} m\left(L^{2}+H^{2}\right)
Calcule o momento de inércia em relação a um eixo paralelo, também perpendicular à placa, mas que passa por um ponto situado no vértice da placa.
Use o teorema dos eixos paralelos:
I=I_{C M}+m d^{2}
onde d é a distância entre o centro de massa e o novo eixo.
A) 0,1 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2}
B) 0,2 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2}
C) 0,5 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2}
D) 0,7 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2}
E) 1,0 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:\n
  • Pede o momento de inércia da placa retangular fina em relação a um eixo perpendicular ao plano da placa que passa por um vértice.\n
  • Dados fornecidos: m=4,0\\ \mathrm{kg}, L=0,60\\ \mathrm{m}, H=0,40\\ \mathrm{m}.\n
  • Fórmula dada para o momento de inércia em torno do centro de massa:
I_{CM}=\frac{1}{12}\,m\left(L^{2}+H^{2}\right)
  • Fórmula a usar (teorema dos eixos paralelos):
I=I_{CM}+m d^{2}
onde d é a distância entre o centro de massa e o novo eixo (o vértice).

Passo 2

Entendendo o que é d e como determinar: \n
  • O centro da placa fica no ponto médio das dimensões; para alcançar um vértice deslocamo-nos metade da largura e metade da altura.\n
  • Portanto as coordenadas do deslocamento do centro até o vértice são \left(\frac{L}{2},\frac{H}{2}\right).\n
  • A distância d é a distância euclidiana entre esses pontos, então
d^{2}=\left(\frac{L}{2}\right)^{2}+\left(\frac{H}{2}\right)^{2}.

Passo 3

Calculemos L^{2}, H^{2} e a soma que entra em I_{CM}:\n
L^{2}=(0,60)^{2}=0,36
H^{2}=(0,40)^{2}=0,16
L^{2}+H^{2}=0,36+0,16=0,52

Passo 4

Calculemos I_{CM} usando a fórmula dada e os números acima:\n
I_{CM}=\frac{1}{12}\cdot 4,0\cdot 0,52=\frac{2,08}{12}=0,173333\ldots\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{2}.
(Guardei o valor exato como 0,173333\ldots para somar depois; dá para pensar em 0,1733 arredondado.)

Passo 5

Calculemos d^{2} usando os meios das dimensões:\n
\left(\frac{L}{2}\right)^{2}=(0,30)^{2}=0,09
\left(\frac{H}{2}\right)^{2}=(0,20)^{2}=0,04
d^{2}=0,09+0,04=0,13.

Passo 6

Agora calculemos o termo de transferência m d^{2}:\n
m d^{2}=4,0\cdot 0,13=0,52\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{2}.

Passo 7

Aplique o teorema dos eixos paralelos e some os termos:\n
I=I_{CM}+m d^{2}=0,173333\ldots+0,52=0,693333\ldots\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{2}.
Arredondando uma casa decimal (para comparar com as alternativas), temos aproximadamente 0,7\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{2}.

Resposta

0,7\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{2}

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